Номер 328, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

328. В шар вписан конус. Докажите, что радиус шара равен $\frac{h^2 + r^2}{2h}$, где

h — высота конуса, r — радиус его основания.

Рассмотрим осевое сечение шара и вписанного в него конуса. Сечением шара является большой круг, а сечением конуса — равнобедренный треугольник, вписанный в этот круг.

Обозначим радиус шара как $R$, высоту конуса как $h$ и радиус основания конуса как $r$.

Пусть $O$ — центр шара, который лежит на оси конуса. Пусть $V$ — вершина конуса, а $D$ — центр его основания. Таким образом, высота конуса — это отрезок $VD$, и $VD = h$. Пусть $C$ — произвольная точка на окружности основания конуса. Тогда $DC$ — это радиус основания конуса, и $DC = r$.

Поскольку конус вписан в шар, его вершина $V$ и все точки окружности основания (включая точку $C$) лежат на поверхности шара. Следовательно, расстояния от центра шара $O$ до этих точек равны радиусу шара $R$. То есть, $OV = R$ и $OC = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ODC$ (угол $\angle ODC = 90^\circ$). Его гипотенуза $OC = R$, а катет $DC = r$. Длину второго катета $OD$ можно выразить через $h$ и $R$. Точки $V$, $O$, $D$ лежат на одной прямой (оси конуса). Расстояние $VD = h$, а $OV = R$. Следовательно, расстояние $OD = |VD - OV| = |h - R|$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $ODC$: $OC^2 = OD^2 + DC^2$.

Подставим в это уравнение известные нам величины:$R^2 = (|h - R|)^2 + r^2$

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, то есть $(|h - R|)^2 = (h - R)^2$, раскроем скобки:$R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + r^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей равенства:$0 = h^2 - 2hR + r^2$

Теперь выразим $R$. Перенесём слагаемое, содержащее $R$, в левую часть:$2hR = h^2 + r^2$

Наконец, разделим обе части на $2h$ (так как высота конуса $h$ по определению не равна нулю), что приводит к искомой формуле:$R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Ответ: Требуемое равенство $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$ доказано.