Номер 321, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

321. Есть два цилиндра, осевыми сечениями которых являются квадраты, причем один из них описан около шара, а другой вписан в этот шар. Найдите отношение их объемов.

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $R$ — радиус шара. $V_1$ — объем цилиндра, описанного около шара, а $V_2$ — объем цилиндра, вписанного в этот шар. Осевое сечение каждого цилиндра по условию является квадратом.

Сначала рассмотрим цилиндр, описанный около шара. Обозначим его высоту как $h_1$, а радиус основания как $r_1$. Поскольку цилиндр описан около шара, это означает, что шар касается его оснований и боковой поверхности. Следовательно, высота цилиндра равна диаметру шара, $h_1 = 2R$, а диаметр основания цилиндра также равен диаметру шара, $2r_1 = 2R$, откуда $r_1 = R$. При этих размерах осевое сечение цилиндра (прямоугольник со сторонами $h_1$ и $2r_1$) является квадратом, так как $h_1 = 2R$ и $2r_1 = 2R$, что соответствует условию задачи. Объем этого цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$:$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$.

Теперь рассмотрим цилиндр, вписанный в шар. Обозначим его высоту как $h_2$, а радиус основания как $r_2$. По условию, его осевое сечение также является квадратом, поэтому $h_2 = 2r_2$. Когда цилиндр вписан в шар, окружности его оснований лежат на поверхности шара. Это означает, что осевое сечение цилиндра (квадрат) вписано в большой круг шара. Диагональ этого квадрата равна диаметру шара, то есть $2R$. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $h_2 = a$ и $2r_2 = a$. Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по теореме Пифагора и равна $a\sqrt{2}$. Приравниваем диагональ квадрата к диаметру шара:$a\sqrt{2} = 2R$Отсюда находим сторону квадрата:$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = \frac{2R\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$. Таким образом, высота цилиндра $h_2 = a = R\sqrt{2}$, а радиус его основания $r_2 = a/2 = \frac{R\sqrt{2}}{2}$. Найдем объем этого цилиндра:$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2 (R\sqrt{2}) = \pi \left(\frac{R^2 \cdot 2}{4}\right) (R\sqrt{2}) = \pi \frac{R^2}{2} R\sqrt{2} = \frac{\pi R^3\sqrt{2}}{2}$.

Наконец, найдем отношение объемов описанного цилиндра к вписанному:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{2\pi R^3}{\frac{\pi R^3\sqrt{2}}{2}}$Сократив одинаковые множители $\pi R^3$, получаем:$\frac{V_1}{V_2} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$. Ответ: $2\sqrt{2}$