Номер 314, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

314. В шар вписана прямая призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см. Найдите объем призмы, учитывая, что радиус шара равен 39 см.

Для решения этой задачи найдем последовательно все необходимые величины: радиус описанной окружности основания, высоту призмы, площадь основания и, наконец, ее объем.

1. Нахождение гипотенузы и радиуса описанной окружности основания призмы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 18$ см и $b = 24$ см. Найдем гипотенузу $c$ этого треугольника по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.

Так как призма вписана в шар, ее основания являются вписанными в сечения шара (окружности). Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Обозначим этот радиус как $r_{осн}$:

$r_{осн} = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

2. Нахождение высоты призмы

Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом описанной окружности основания $r_{осн}$ и половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а $r_{осн}$ и $\frac{h}{2}$ — катетами. Таким образом, они связаны соотношением:

$R^2 = r_{осн}^2 + (\frac{h}{2})^2$

Нам известны $R = 39$ см и $r_{осн} = 15$ см. Подставим эти значения в формулу и найдем высоту $h$.

$39^2 = 15^2 + (\frac{h}{2})^2$

$1521 = 225 + (\frac{h}{2})^2$

$(\frac{h}{2})^2 = 1521 - 225 = 1296$

$\frac{h}{2} = \sqrt{1296} = 36$ см

$h = 2 \cdot 36 = 72$ см.

3. Нахождение площади основания призмы

Площадь основания призмы $S_{осн}$ — это площадь прямоугольного треугольника с катетами $a = 18$ см и $b = 24$ см.

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 9 \cdot 24 = 216$ см².

4. Нахождение объема призмы

Объем прямой призмы $V$ вычисляется как произведение площади ее основания на высоту.

$V = S_{осн} \cdot h$

$V = 216 \cdot 72 = 15552$ см³.

Ответ: Объем призмы равен $15552$ см³.