Номер 307, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

307. Осевым сечением цилиндра является квадрат. Докажите, что:

а) центры вписанного в цилиндр и описанного около него шаров, совпадают и лежат на оси цилиндра;

б) боковая поверхность цилиндра равна поверхности вписанного в него шара;

в) полная поверхность цилиндра относится к поверхности вписанного в него шара как 3 : 2;

г) объем цилиндра относится к объему вписанного в него шара как 3 : 2.

По условию задачи, осевым сечением цилиндра является квадрат. Осевое сечение — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра, стороны которого равны высоте цилиндра $H$ и диаметру его основания $D = 2R$, где $R$ — радиус основания. Так как сечение является квадратом, его стороны равны, следовательно, высота цилиндра равна диаметру его основания: $H = 2R$. Такой цилиндр называется равносторонним.

а) центры вписанного в цилиндр и описанного около него шаров, совпадают и лежат на оси цилиндра;

Вписанный шар:
Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда цилиндр является равносторонним ($H = 2R$), что соответствует условию задачи. Центр вписанного шара должен быть равноудален от обоих оснований цилиндра и от его боковой поверхности. Множество точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей (оснований цилиндра), — это плоскость, параллельная им и проходящая ровно посередине между ними. Множество точек, равноудаленных от боковой поверхности цилиндра, — это его ось. Пересечением этой плоскости и оси является единственная точка — середина отрезка оси, соединяющего центры оснований. Эта точка и является центром вписанного шара $O_{вп}$. Таким образом, центр вписанного шара лежит на оси цилиндра. Радиус вписанного шара $r_{вп}$ равен расстоянию от его центра до основания ($H/2$) и до боковой поверхности ($R$). Так как $H=2R$, то $r_{вп} = H/2 = R$.

Описанный шар:
Шар является описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. Центр описанного шара должен быть равноудален от всех точек окружностей обоих оснований. Это означает, что он должен лежать на оси цилиндра (как на линии, содержащей центры оснований) и быть равноудаленным от плоскостей оснований. Следовательно, центр описанного шара $O_{оп}$ также является серединой отрезка оси, соединяющего центры оснований.

Поскольку и центр вписанного шара, и центр описанного шара являются серединой одного и того же отрезка оси цилиндра, их центры совпадают и лежат на оси цилиндра.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) боковая поверхность цилиндра равна поверхности вписанного в него шара;

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок. цил.} = 2 \pi R H$. Подставляя условие $H = 2R$, получаем: $S_{бок. цил.} = 2 \pi R (2R) = 4 \pi R^2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S_{шара} = 4 \pi r^2$. Как мы установили в пункте (а), радиус вписанного шара $r_{вп} = R$. Следовательно, площадь его поверхности: $S_{вп. шара} = 4 \pi R^2$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $S_{бок. цил.} = S_{вп. шара} = 4 \pi R^2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) полная поверхность цилиндра относится к поверхности вписанного в него шара как 3 : 2;

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований: $S_{полн. цил.} = S_{бок. цил.} + 2 S_{осн.}$. Площадь основания цилиндра: $S_{осн.} = \pi R^2$. Из пункта (б) мы знаем, что $S_{бок. цил.} = 4 \pi R^2$. Тогда полная поверхность цилиндра: $S_{полн. цил.} = 4 \pi R^2 + 2 (\pi R^2) = 6 \pi R^2$.

Площадь поверхности вписанного шара, как найдено ранее, $S_{вп. шара} = 4 \pi R^2$.

Найдем отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности вписанного шара: $\frac{S_{полн. цил.}}{S_{вп. шара}} = \frac{6 \pi R^2}{4 \pi R^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Это соответствует отношению 3 : 2.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) объем цилиндра относится к объему вписанного в него шара как 3 : 2.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил.} = S_{осн.} \cdot H = \pi R^2 H$. Подставляя $H = 2R$, получаем: $V_{цил.} = \pi R^2 (2R) = 2 \pi R^3$.

Объем шара вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$. Радиус вписанного шара $r_{вп} = R$, поэтому его объем: $V_{вп. шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Найдем отношение объема цилиндра к объему вписанного шара: $\frac{V_{цил.}}{V_{вп. шара}} = \frac{2 \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Это соответствует отношению 3 : 2.

Ответ: Что и требовалось доказать.