Номер 306, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

306. Докажите, что:

а) около любого цилиндра можно описать шар;

б) в цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра является квадратом;

в) около любого конуса можно описать шар;

г) в любой конус можно вписать шар;

д) около любого усеченного конуса можно описать шар;

е) в усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда в осевое сечение конуса можно вписать окружность, или если образующая конуса равна сумме радиусов его оснований, или если высота конуса равна среднему геометрическому диаметров его оснований;

ж) около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать шар;

з) около прямой призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда около основания многоугольника можно описать окружность.

а) Пусть цилиндр имеет радиус основания $r$ и высоту $h$. Расположим центр цилиндра в начале координат $(0,0,0)$ так, чтобы его ось совпадала с осью $z$. Тогда окружности оснований лежат в плоскостях $z = -h/2$ и $z = h/2$ и их уравнения имеют вид $x^2 + y^2 = r^2$.
Искомая описанная сфера, в силу симметрии, должна иметь центр в той же точке, что и цилиндр, то есть в $(0,0,0)$. Уравнение такой сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$, где $R$ – ее радиус.
Любая точка, принадлежащая окружностям оснований цилиндра, должна лежать на этой сфере. Возьмем произвольную точку на одной из окружностей, например, на верхней: ее координаты удовлетворяют условиям $x^2 + y^2 = r^2$ и $z = h/2$. Подставив эти значения в уравнение сферы, получим: $r^2 + (h/2)^2 = R^2$.
Для точек нижней окружности ($z = -h/2$) результат будет тем же: $r^2 + (-h/2)^2 = R^2$.
Таким образом, для любого цилиндра с $r > 0$ и $h > 0$ можно найти радиус $R = \sqrt{r^2 + (h/2)^2}$ сферы с центром в центре цилиндра, которая будет проходить через обе окружности оснований. Следовательно, около любого цилиндра можно описать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Это утверждение "тогда и только тогда", поэтому докажем его в обе стороны.
Необходимость (если в цилиндр можно вписать шар, то его осевое сечение – квадрат):
Пусть в цилиндр с радиусом основания $r$ и высотой $h$ вписан шар. Это означает, что шар касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности.
1. Касание оснований: Расстояние между основаниями цилиндра равно $h$. Чтобы шар касался обоих оснований, его диаметр должен быть равен этому расстоянию. Если радиус шара $R_s$, то $2R_s = h$.
2. Касание боковой поверхности: Центр вписанного шара лежит на оси цилиндра. Чтобы шар касался боковой поверхности, расстояние от его центра до любой образующей цилиндра должно быть равно радиусу шара. Это расстояние равно радиусу цилиндра $r$. Таким образом, $R_s = r$.
Из этих двух условий следует, что $h = 2R_s = 2r$.
Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $2r$. Поскольку мы доказали, что $h = 2r$, этот прямоугольник является квадратом.
Достаточность (если осевое сечение цилиндра – квадрат, то в него можно вписать шар):
Пусть осевое сечение цилиндра – квадрат. Это означает, что высота цилиндра равна диаметру его основания: $h = 2r$.
Рассмотрим шар, центр которого совпадает с центром цилиндра, а радиус $R_s = r$. Проверим, будет ли он вписан.
1. Расстояние от центра шара до плоскостей оснований равно $h/2 = (2r)/2 = r$, что равно радиусу шара $R_s$. Значит, шар касается оснований.
2. Расстояние от центра шара (точки на оси) до боковой поверхности равно $r$, что также равно радиусу шара $R_s$. Значит, шар касается боковой поверхности.
Следовательно, такой шар вписан в цилиндр.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Шар называется описанным около конуса, если вершина конуса и все точки окружности его основания лежат на поверхности шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Шар описан около конуса тогда и только тогда, когда окружность большого круга этого шара описана около его осевого сечения.
Известно, что около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Следовательно, около осевого сечения любого конуса (равнобедренного треугольника) можно описать окружность. Вращая эту окружность и треугольник вокруг оси симметрии конуса, мы получим исходный конус и описанный около него шар.
Таким образом, около любого конуса можно описать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Шар называется вписанным в конус, если он касается основания конуса и его боковой поверхности.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник. Шар вписан в конус тогда и только тогда, когда окружность большого круга этого шара вписана в его осевое сечение.
Известно, что в любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.
Следовательно, в осевое сечение любого конуса (равнобедренный треугольник) можно вписать окружность. Вращая эту окружность и треугольник вокруг оси симметрии конуса, мы получим исходный конус и вписанный в него шар.
Таким образом, в любой конус можно вписать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

д) Шар называется описанным около усеченного конуса, если окружности обоих его оснований лежат на поверхности шара.
Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Это равнобокая трапеция. Шар описан около усеченного конуса тогда и только тогда, когда окружность большого круга этого шара описана около его осевого сечения.
Известно, что окружность можно описать около выпуклого четырехугольника тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих углов равны $180^\circ$.
В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть углы при одном основании равны $\alpha$, а при другом – $\beta$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. Противоположные углы в такой трапеции как раз составляют пары $(\alpha, \beta)$, сумма которых равна $180^\circ$.
Следовательно, около любой равнобокой трапеции можно описать окружность. Вращая эту окружность и трапецию вокруг оси симметрии, мы получим усеченный конус и описанный около него шар.
Таким образом, около любого усеченного конуса можно описать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

е) Докажем, что сфера может быть вписана в усеченный конус тогда и только тогда, когда выполняется любое из трех эквивалентных условий, перечисленных в задаче.
Пусть усеченный конус имеет радиусы оснований $r_1$ и $r_2$, высоту $h$ и образующую $l$.
Шар может быть вписан в усеченный конус, если он касается обоих оснований и боковой поверхности. Это эквивалентно тому, что в осевое сечение конуса (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Это доказывает эквивалентность с первым условием.
Согласно свойству описанного четырехугольника (теореме Пито), окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Осевое сечение — это равнобокая трапеция с основаниями $2r_1$, $2r_2$ и боковыми сторонами $l$. Условие вписанной окружности: $l + l = 2r_1 + 2r_2 \implies 2l = 2(r_1+r_2) \implies l = r_1+r_2$.
Это доказывает эквивалентность со вторым условием: "образующая конуса равна сумме радиусов его оснований".
Теперь докажем эквивалентность с третьим условием: "высота конуса равна среднему геометрическому диаметров его оснований". Диаметры оснований — $d_1 = 2r_1$ и $d_2 = 2r_2$. Их среднее геометрическое: $\sqrt{d_1 d_2} = \sqrt{(2r_1)(2r_2)} = 2\sqrt{r_1r_2}$. Итак, условие имеет вид $h=2\sqrt{r_1r_2}$.
Связь между высотой, образующей и радиусами в усеченном конусе задается по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, частью большего радиуса и образующей: $l^2 = h^2 + (r_1-r_2)^2$.
Подставим в эту формулу условие $l = r_1+r_2$: $(r_1+r_2)^2 = h^2 + (r_1-r_2)^2$
$r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 = h^2 + r_1^2 - 2r_1r_2 + r_2^2$
$4r_1r_2 = h^2 \implies h = \sqrt{4r_1r_2} = 2\sqrt{r_1r_2}$.
Это в точности третье условие. Таким образом, все три условия эквивалентны и являются необходимыми и достаточными для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

ж) Шар называется описанным около прямоугольного параллелепипеда, если все 8 его вершин лежат на поверхности шара.
Пусть измерения параллелепипеда равны $a, b, c$. Центр симметрии параллелепипеда — точка пересечения его диагоналей. Выберем эту точку в качестве центра описанной сферы и начала координат $(0,0,0)$. Тогда вершины параллелепипеда будут иметь координаты вида $(\pm a/2, \pm b/2, \pm c/2)$.
Найдем квадрат расстояния от центра до произвольной вершины: $d^2 = (\pm a/2)^2 + (\pm b/2)^2 + (\pm c/2)^2 = a^2/4 + b^2/4 + c^2/4$.
Это расстояние одинаково для всех восьми вершин. Следовательно, все они лежат на сфере с центром в центре параллелепипеда и радиусом $R = \sqrt{a^2/4 + b^2/4 + c^2/4} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
Таким образом, около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать шар.

Ответ: Что и требовалось доказать.

з) Это утверждение "тогда и только тогда", поэтому докажем его в обе стороны.
Необходимость (если около прямой призмы можно описать шар, то около её основания можно описать окружность):
Пусть около прямой призмы описан шар. Это значит, что все вершины призмы лежат на поверхности этого шара. Вершины основания призмы лежат в одной плоскости. Пересечением сферы и плоскости является окружность (или точка, или пустое множество). Так как вершины основания лежат и на сфере, и в этой плоскости, они должны лежать на окружности их пересечения. Следовательно, около многоугольника основания можно описать окружность.
Достаточность (если около основания прямой призмы можно описать окружность, то около призмы можно описать шар):
Пусть около многоугольника в основании прямой призмы можно описать окружность. Обозначим радиус этой окружности $r_{осн}$, а ее центр — $C_1$. Все вершины нижнего основания лежат на этой окружности. Так как призма прямая, верхнее основание является конгруэнтным и параллельным сдвигом нижнего, поэтому около него также можно описать окружность с тем же радиусом $r_{осн}$ и центром $C_2$.
Пусть высота призмы равна $h$. Рассмотрим точку $O$, которая является серединой отрезка $C_1C_2$, соединяющего центры описанных окружностей оснований. Эта точка будет кандидатом в центры описанной сферы.
Найдем расстояние от точки $O$ до произвольной вершины призмы, например, вершины $V$ на нижнем основании. Это расстояние является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $OC_1V$, катеты которого — это расстояние от $O$ до плоскости основания ($OC_1 = h/2$) и радиус описанной окружности основания ($C_1V = r_{осн}$).
Квадрат расстояния $OV^2$ равен $R^2 = (h/2)^2 + r_{осн}^2$.
Это расстояние одинаково для всех вершин как нижнего, так и верхнего основания. Следовательно, все вершины призмы лежат на сфере с центром в точке $O$ и радиусом $R = \sqrt{(h/2)^2 + r_{осн}^2}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.