Номер 299, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

299*. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите отношение объема их общей части к объему одного шара.

Пусть радиус каждого из двух равных шаров равен $R$.

Согласно условию задачи, центр одного шара лежит на поверхности другого. Это означает, что расстояние между центрами шаров, обозначим их $O_1$ и $O_2$, равно радиусу $R$.

Общая часть двух пересекающихся шаров представляет собой тело, состоящее из двух одинаковых шаровых сегментов (иногда называемых шаровыми шапками). Каждый шаровой сегмент является частью одного из шаров.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$, где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Найдем высоту $h$ для одного такого сегмента. Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры шаров. В сечении мы увидим два пересекающихся круга радиуса $R$ с расстоянием между центрами, равным $R$.

Высота шарового сегмента $h$ — это расстояние от плоскости, отсекающей сегмент, до наиболее удаленной точки сегмента на поверхности шара. В нашем случае, плоскость, отсекающая сегмент, — это плоскость пересечения двух сфер. Эта плоскость перпендикулярна отрезку $O_1O_2$ и проходит через его середину, так как шары равны.

Следовательно, расстояние от центра любого из шаров (например, $O_1$) до этой плоскости равно $R/2$. Высота сегмента $h$ для шара с центром $O_1$ будет равна разности между радиусом шара и расстоянием от центра до плоскости сечения: $h = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$.

Теперь можем вычислить объем одного шарового сегмента, подставив $h = R/2$ в формулу: $V_{сегм} = \frac{1}{3}\pi (\frac{R}{2})^2 (3R - \frac{R}{2}) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{4} (\frac{6R-R}{2}) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{4} \cdot \frac{5R}{2} = \frac{5\pi R^3}{24}$.

Общая часть шаров состоит из двух таких одинаковых сегментов, поэтому ее объем $V_{общ}$ равен: $V_{общ} = 2 \cdot V_{сегм} = 2 \cdot \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{10\pi R^3}{24} = \frac{5\pi R^3}{12}$.

Объем одного шара $V_{шара}$ вычисляется по стандартной формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Наконец, найдем искомое отношение объема общей части к объему одного шара: $\frac{V_{общ}}{V_{шара}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4\pi R^3}{3}}$.

Сократим $\pi R^3$: $\frac{V_{общ}}{V_{шара}} = \frac{5/12}{4/3} = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{48}$.

Сократим дробь на 3: $\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$.