Номер 303, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

303. Найдите объем шарового сектора, дуга осевого сечения которого равна $\alpha$, а:

а) радиус шара — $r$;

б) его высота — $h$.

Объем шарового сектора вычисляется по формуле $V = \frac{2}{3}\pi R^2 H$, где $R$ — радиус шара, а $H$ — высота соответствующего шарового сегмента (которую также называют высотой сектора).

Осевое сечение шарового сектора — это круговой сектор. По условию задачи, дуга этого сечения, то есть его центральный угол, равна $\alpha$. Высота шарового сектора $H$ связана с радиусом шара $R$ и углом $\alpha$. Если рассмотреть осевое сечение, то высота $H$ будет равна разности между радиусом шара и проекцией радиуса, ограничивающего сектор, на ось симметрии. Угол между осью симметрии и этим радиусом равен $\frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, высота $H$ равна:$H = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а) радиус шара — r;

В этом случае радиус шара $R = r$. Найдем высоту сектора $H$, используя выведенную выше формулу:

$H = r(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Теперь подставим значения $R=r$ и $H$ в формулу для объема шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 H = \frac{2}{3}\pi r^2 \cdot r(1 - \cos(\frac{\alpha}{2})) = \frac{2}{3}\pi r^3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Ответ: $V = \frac{2}{3}\pi r^3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

б) его высота — h.

В этом случае высота шарового сектора $H = h$. Мы должны выразить объем через $h$ и $\alpha$. Для этого нам нужно выразить радиус шара $R$ через известные величины.

Из соотношения $H = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$ получаем:

$h = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Отсюда выражаем радиус шара $R$:

$R = \frac{h}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь подставляем выражение для $R$ и значение $H=h$ в формулу объема шарового сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 H = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{h}{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 h$

Упрощая, получаем окончательную формулу:

$V = \frac{2}{3}\pi \frac{h^2}{(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))^2} h = \frac{2\pi h^3}{3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))^2}$

Ответ: $V = \frac{2\pi h^3}{3(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))^2}$