Номер 297, страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

297*. Определите, сколько кубометров земли понадобится для того, чтобы сделать клумбу, имеющую форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см.

Для определения необходимого количества земли нужно вычислить объем клумбы, которая имеет форму шарового сегмента. Объем земли будет равен объему этой геометрической фигуры.

Исходные данные:

Радиус основания шарового сегмента: $a = 5$ м.

Высота шарового сегмента: $h = 60$ см.

Решение:

1. Для удобства расчетов приведем все единицы измерения к единой системе. Поскольку итоговый объем требуется в кубометрах, переведем высоту из сантиметров в метры:

$h = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$

2. Объем шарового сегмента ($V$) можно найти по формуле, которая связывает его высоту ($h$) и радиус основания ($a$):

$V = \frac{1}{6} \pi h (3a^2 + h^2)$

3. Подставим известные значения $a = 5$ м и $h = 0,6$ м в эту формулу:

$V = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,6 \cdot (3 \cdot 5^2 + (0,6)^2)$

4. Выполним вычисления по шагам:

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$3a^2 + h^2 = 3 \cdot 25 + 0,36 = 75 + 0,36 = 75,36$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{1}{6} \pi \cdot 0,6 \cdot 75,36$

Упростим множитель перед $\pi$:

$\frac{1}{6} \cdot 0,6 = 0,1$

Таким образом, объем равен:

$V = 0,1 \cdot \pi \cdot 75,36 = 7,536\pi \text{ м}^3$

5. Для практических целей можно найти численное значение, используя приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$:

$V \approx 7,536 \cdot 3,14 \approx 23,66 \text{ м}^3$

Таким образом, для создания клумбы понадобится примерно $23,66$ кубометров земли.

Ответ: Понадобится $7,536\pi$ м$^3$ земли, что приблизительно равно $23,66$ м$^3$.