Номер 292, страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

292*. Сосуд имеет форму полушара с радиусом $R$, дополненного цилиндром. Определите, какой высоты должна быть цилиндрическая часть, чтобы сосуд имел объем $V$.

Для решения задачи представим общий объем сосуда $V$ как сумму объемов двух его частей: полушара и цилиндра.

1. Объем полушара. Сосуд включает в себя полушар радиусом $R$. Объем полного шара равен $\frac{4}{3}\pi R^3$, следовательно, объем полушара $V_{пш}$ составляет половину от этого значения:
$V_{пш} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

2. Объем цилиндра. Цилиндрическая часть дополняет полушар, поэтому радиус ее основания также равен $R$. Обозначим искомую высоту цилиндра через $h$. Объем цилиндра $V_ц$ вычисляется по формуле:
$V_ц = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$

3. Общий объем. Полный объем сосуда $V$ равен сумме объемов полушара и цилиндра:
$V = V_{пш} + V_ц$
$V = \frac{2}{3}\pi R^3 + \pi R^2 h$

4. Нахождение высоты $h$. Теперь выразим высоту $h$ из полученного уравнения. Сначала выразим объем цилиндрической части:
$\pi R^2 h = V - \frac{2}{3}\pi R^3$

Чтобы найти высоту $h$, разделим обе части уравнения на площадь основания цилиндра $\pi R^2$. Это возможно, так как по условию радиус $R$ существует, то есть $R > 0$.
$h = \frac{V - \frac{2}{3}\pi R^3}{\pi R^2}$

Данное выражение можно упростить, разделив числитель на знаменатель почленно:
$h = \frac{V}{\pi R^2} - \frac{\frac{2}{3}\pi R^3}{\pi R^2} = \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2}{3}R$

Стоит отметить, что задача имеет физический смысл (то есть высота $h$ неотрицательна) только при условии, что общий объем $V$ не меньше объема полушара: $V \ge \frac{2}{3}\pi R^3$.

Ответ: Высота цилиндрической части должна быть равна $h = \frac{V}{\pi R^2} - \frac{2}{3}R$.