Номер 286, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

286. Найдите радиус шара, объем которого равен объему:

а) цилиндра с высотой 10 см и радиусом 6 см;

б) конуса с высотой 20 см и радиусом основания 10 см.

а)

Сначала найдем объем цилиндра. Формула для объема цилиндра: $V_{цилиндра} = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота.

По условию, высота цилиндра $h = 10$ см, а радиус $r = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$V_{цилиндра} = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 10 \text{ см} = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 360\pi \text{ см}^3$.

Объем шара $V_{шара}$ равен объему цилиндра, $V_{шара} = 360\pi \text{ см}^3$.

Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Приравняем объемы и выразим радиус шара $R$:

$\frac{4}{3} \pi R^3 = 360\pi$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$\frac{4}{3} R^3 = 360$

Теперь выразим $R^3$:

$R^3 = 360 \cdot \frac{3}{4} = 90 \cdot 3 = 270$

Найдем $R$, взяв кубический корень из 270:

$R = \sqrt[3]{270} = \sqrt[3]{27 \cdot 10} = 3\sqrt[3]{10}$ см.

Ответ: $3\sqrt[3]{10}$ см.

б)

Сначала найдем объем конуса. Формула для объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота.

По условию, высота конуса $h = 20$ см, а радиус основания $r = 10$ см.

Подставим эти значения в формулу:

$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot 20 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = \frac{2000\pi}{3} \text{ см}^3$.

Объем шара $V_{шара}$ равен объему конуса, $V_{шара} = \frac{2000\pi}{3} \text{ см}^3$.

Формула для объема шара: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$, где $R$ – радиус шара.

Приравняем объемы и выразим радиус шара $R$:

$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2000\pi}{3}$

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{\pi}$:

$4 R^3 = 2000$

Теперь выразим $R^3$:

$R^3 = \frac{2000}{4} = 500$

Найдем $R$, взяв кубический корень из 500:

$R = \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{125 \cdot 4} = 5\sqrt[3]{4}$ см.

Ответ: $5\sqrt[3]{4}$ см.