Номер 283, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

283. Определите, во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в:

а) 3 раза;

б) 5 раз;

в) $n$ раз.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для вычисления объема шара. Объем $V$ шара с радиусом $R$ определяется по формуле:
$V = \frac{4}{3} \pi R^3$.

Пусть $R_1$ — это начальный радиус шара, а $V_1$ — его начальный объем. Тогда $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$.

Пусть $R_2$ — это новый радиус шара после увеличения, а $V_2$ — новый объем. Тогда $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, нужно вычислить отношение нового объема $V_2$ к начальному объему $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_2^3}{\frac{4}{3} \pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$.

Из этой формулы следует, что объем шара пропорционален кубу его радиуса. Теперь мы можем решить каждый подпункт задачи.

а) Если радиус увеличить в 3 раза, это означает, что отношение нового радиуса к начальному составляет $\frac{R_2}{R_1} = 3$.
Подставив это значение в выведенную нами формулу, получим отношение объемов:
$\frac{V_2}{V_1} = 3^3 = 27$.
Следовательно, объем шара увеличится в 27 раз.
Ответ: в 27 раз.

б) Если радиус увеличить в 5 раз, то отношение радиусов $\frac{R_2}{R_1} = 5$.
Тогда отношение объемов будет равно:
$\frac{V_2}{V_1} = 5^3 = 125$.
Следовательно, объем шара увеличится в 125 раз.
Ответ: в 125 раз.

в) Если радиус увеличить в $n$ раз, то отношение радиусов $\frac{R_2}{R_1} = n$.
Тогда отношение объемов будет равно:
$\frac{V_2}{V_1} = n^3$.
Следовательно, объем шара увеличится в $n^3$ раз.
Ответ: в $n^3$ раз.