Номер 16, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Сколькими точками пространства определяется сфера?

Для однозначного определения сферы в пространстве необходимо задать четыре точки, при условии, что они не лежат в одной плоскости.

Рассмотрим, почему меньшего количества точек недостаточно, и почему четыре точки являются достаточным количеством при выполнении указанного условия.

Одна или две точки

Через одну или две точки в пространстве можно провести бесконечное множество различных сфер. Например, для двух точек A и B, центр любой проходящей через них сферы может находиться в любой точке на плоскости, которая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину.

Три точки

Расположение трех точек определяет два возможных случая:

1. Точки лежат на одной прямой (коллинеарны). В этом случае через них невозможно провести сферу. Центр сферы должен быть равноудален от всех трех точек. Множество точек, равноудаленных от первой и второй точек, — это плоскость-серединный перпендикуляр. Аналогичное множество для второй и третьей точек — это другая плоскость. Поскольку точки коллинеарны, эти две плоскости будут параллельны и не пересекутся. Следовательно, не существует точки, равноудаленной от всех трех.

2. Точки не лежат на одной прямой. В этом случае они однозначно задают плоскость и образуют в ней треугольник. Вокруг этого треугольника можно описать единственную окружность. Центр любой сферы, проходящей через эти три точки, должен лежать на прямой, которая перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр его описанной окружности. Так как на этой прямой бесконечно много точек, то и существует бесконечное множество сфер, проходящих через три неколлинеарные точки.

Четыре точки

Четыре точки однозначно определяют сферу, только если они не лежат в одной плоскости (являются некомпланарными). Такие точки образуют вершины пространственной фигуры — тетраэдра.

Геометрическое доказательство:
Центр искомой сферы должен быть равноудален от всех четырех заданных точек A, B, C и D. Множество точек, равноудаленных от A и B, — это серединный перпендикуляр (плоскость) к отрезку AB. Аналогично для пар точек (A, C) и (A, D). Центр сферы является точкой пересечения этих трех плоскостей. Поскольку точки A, B, C, D некомпланарны, эти три плоскости пересекаются в одной-единственной точке O. Эта точка O и является центром описанной около тетраэдра ABCD сферы. Расстояние от точки O до любой из четырех вершин является радиусом R этой единственной сферы.

Алгебраическое доказательство:
Уравнение сферы в декартовых координатах имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Это уравнение содержит четыре неизвестных параметра: координаты центра $(x_0, y_0, z_0)$ и радиус $R$. Для их нахождения необходимо иметь систему из четырех уравнений. Каждая точка $(x_i, y_i, z_i)$, через которую проходит сфера, дает одно такое уравнение. Таким образом, четыре точки дают систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Эта система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда четыре точки не лежат в одной плоскости.

Если же четыре точки лежат в одной плоскости, то либо через них нельзя провести сферу (если они не лежат на одной окружности), либо можно провести бесконечное множество сфер (если они лежат на одной окружности).

Ответ: Сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.