Номер 281, страница 100 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

281. Найдите геометрическое место:

а) середин равных хорд шара;

б) центров равных круговых сечений шара.

а) середин равных хорд шара;

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим произвольную хорду $AB$ этого шара, длина которой постоянна и равна $l$. Пусть точка $M$ является серединой этой хорды.

Соединим концы хорды, точки $A$ и $B$, с центром шара $O$. Получим треугольник $\triangle OAB$. Поскольку отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами шара, то $OA = OB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Отрезок $OM$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $AB$, то есть является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $OM$ перпендикулярен хорде $AB$ ($OM \perp AB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. В нем гипотенуза $OA = R$, а катет $AM$ равен половине длины хорды, то есть $AM = \frac{l}{2}$. По теореме Пифагора, мы можем найти длину катета $OM$, который представляет собой расстояние от центра шара до середины хорды:
$OM^2 = OA^2 - AM^2$
$OM^2 = R^2 - (\frac{l}{2})^2$
$OM = \sqrt{R^2 - \frac{l^2}{4}}$

Так как радиус шара $R$ и длина хорды $l$ являются постоянными величинами, то и расстояние $OM$ от центра шара до середины любой хорды данной длины $l$ также является постоянной величиной.

Геометрическое место точек в пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки (в нашем случае, от центра $O$), представляет собой сферу.

Следовательно, искомое геометрическое место середин равных хорд шара — это сфера, имеющая тот же центр, что и исходный шар (концентрическая ему), и радиус, равный вычисленному расстоянию $OM$.

Ответ: Сфера, концентрическая данному шару, радиус которой равен $\sqrt{R^2 - l^2/4}$, где $R$ — радиус шара, а $l$ — длина хорд.

б) центров равных круговых сечений шара.

Пусть дан шар с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Рассмотрим произвольное круговое сечение этого шара. Все равные круговые сечения имеют одинаковый радиус, обозначим его $r_c$. Пусть точка $C$ является центром одного из таких сечений.

По определению, центр кругового сечения шара — это основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость этого сечения. Таким образом, отрезок $OC$ перпендикулярен плоскости сечения.

Выберем любую точку $P$ на окружности, ограничивающей данное сечение. Эта точка $P$ также лежит на поверхности исходного шара. Рассмотрим треугольник $\triangle OCP$. Так как $OC$ перпендикулярен плоскости сечения, он перпендикулярен и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и радиусу сечения $CP$. Следовательно, треугольник $\triangle OCP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $OP$ — это радиус шара $R$, катет $CP$ — это радиус сечения $r_c$, а катет $OC$ — это расстояние от центра шара до центра сечения. Применим теорему Пифагора:
$OC^2 + CP^2 = OP^2$
$OC^2 + r_c^2 = R^2$
$OC = \sqrt{R^2 - r_c^2}$

Поскольку радиус шара $R$ и радиус сечения $r_c$ являются постоянными величинами для всех рассматриваемых сечений, то расстояние $OC$ от центра шара до центра любого из этих сечений также является постоянной величиной.

Геометрическое место точек, равноудаленных от центра шара $O$ на постоянное расстояние, есть сфера с центром в точке $O$.

Таким образом, искомое геометрическое место центров равных круговых сечений шара — это сфера, концентрическая данному шару.

Ответ: Сфера, концентрическая данному шару, радиус которой равен $\sqrt{R^2 - r_c^2}$, где $R$ — радиус шара, а $r_c$ — радиус круговых сечений.