Номер 17, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

17. Какой зависимостью связаны объем шара и поверхность описанного около него многогранника?

Для того чтобы найти зависимость между объемом шара и площадью поверхности описанного около него многогранника, введем следующие обозначения:

• $R$ – радиус шара;
• $V_{шара}$ – объем шара;
• $S_{многогранника}$ – площадь полной поверхности описанного многогранника;
• $V_{многогранника}$ – объем описанного многогранника.

С одной стороны, объем шара вычисляется по известной формуле:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

С другой стороны, рассмотрим многогранник, описанный около этого шара. По определению, это означает, что шар касается каждой грани многогранника. Мы можем мысленно разбить весь многогранник на несколько пирамид, у которых общая вершина — это центр шара $O$, а основаниями служат грани многогранника.

Высота каждой такой пирамиды, проведенная из вершины $O$ к плоскости основания (грани), будет перпендикулярна этой грани в точке касания. Длина этой высоты в точности равна радиусу шара $R$.

Объем всего многогранника равен сумме объемов этих пирамид. Если многогранник имеет $n$ граней с площадями $S_1, S_2, \dots, S_n$, то его объем можно выразить как:

$V_{многогранника} = V_1 + V_2 + \dots + V_n = \frac{1}{3}S_1 R + \frac{1}{3}S_2 R + \dots + \frac{1}{3}S_n R$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}R$ за скобки:

$V_{многогранника} = \frac{1}{3}R (S_1 + S_2 + \dots + S_n)$

Сумма в скобках $(S_1 + S_2 + \dots + S_n)$ есть не что иное, как полная площадь поверхности многогранника $S_{многогранника}$. Таким образом, мы получаем фундаментальное соотношение для любого многогранника, в который можно вписать шар:

$V_{многогранника} = \frac{1}{3} S_{многогранника} \cdot R$

Эта формула и устанавливает связь между радиусом вписанного шара $R$ и характеристиками многогранника ($V_{многогранника}$ и $S_{многогранника}$).

Теперь мы можем объединить два полученных результата, чтобы выразить искомую зависимость. Объем шара $V_{шара}$ и поверхность описанного многогранника $S_{многогранника}$ связаны между собой через радиус $R$. Из формулы объема шара можно выразить радиус:

$R^3 = \frac{3 V_{шара}}{4\pi} \implies R = \sqrt[3]{\frac{3 V_{шара}}{4\pi}}$

Подстановка этого выражения для $R$ в формулу для объема многогранника дает окончательную, хотя и более сложную, зависимость, связывающую все величины.

Таким образом, зависимость между объемом шара и поверхностью описанного многогранника не является прямой, а опосредована через радиус шара и объем самого многогранника. Эта зависимость выражается системой из двух уравнений:

$\begin{cases}V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \\V_{многогранника} = \frac{1}{3} S_{многогранника} \cdot R\end{cases}$

Ответ: Объем шара $V_{шара}$ и площадь поверхности описанного многогранника $S_{многогранника}$ связаны через радиус шара $R$. Эта связь выражается через объем описанного многогранника $V_{многогранника}$ формулой $V_{многогранника} = \frac{1}{3} S_{многогранника} \cdot R$, где радиус $R$ в свою очередь определяется объемом шара: $R = \sqrt[3]{\frac{3V_{шара}}{4\pi}}$.