Номер 12, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Какой усеченный конус называется вписанным в шар; описанным около шара?

Усеченный конус, вписанный в шар

Усеченный конус называется вписанным в шар, если окружности обоих его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае также говорят, что шар описан около усеченного конуса.

Геометрически это означает, что все вершины, лежащие на окружности верхнего основания, и все вершины, лежащие на окружности нижнего основания конуса, находятся на одинаковом расстоянии от центра шара, равном его радиусу. Основания вписанного конуса являются кругами, полученными в результате сечения шара двумя параллельными плоскостями. Если усеченный конус прямой, то его ось проходит через центр описанного шара.

Ответ: Усеченный конус называется вписанным в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности этого шара.

Усеченный конус, описанный около шара

Усеченный конус называется описанным около шара, если шар касается плоскостей обоих оснований конуса и его боковой поверхности. В этом случае также говорят, что шар вписан в усеченный конус.

Касание боковой поверхности означает, что шар касается каждой образующей усеченного конуса. Центр вписанного шара равноудален от плоскостей оснований и от всех образующих конуса. Существует важное условие, при котором в усеченный конус можно вписать шар: его образующая должна быть равна сумме радиусов оснований. Если $l$ — длина образующей, а $R$ и $r$ — радиусы нижнего и верхнего оснований соответственно, то для существования вписанного шара должно выполняться равенство: $l = R + r$

Это свойство легко доказывается через осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию, описанную около круга (сечения шара). В описанной трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

Ответ: Усеченный конус называется описанным около шара, если оба его основания и его боковая поверхность (т.е. каждая образующая) касаются этого шара.