Номер 6, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Какой многогранник называется вписанным в шар; описанным около шара?

Многогранник, вписанный в шар

Многогранник называется вписанным в шар (или вписанным в сферу), если все его вершины лежат на поверхности этого шара (сфере). В этом случае шар называется описанным около многогранника.

Для того чтобы около многогранника можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его вершин. Эта точка будет являться центром описанного шара, а расстояние от центра до любой вершины многогранника — его радиусом $R$.

Примерами многогранников, которые можно вписать в шар, являются:

• Любой правильный многогранник (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).
• Любая прямая призма, основание которой является многоугольником, вписанным в окружность.
• Любая пирамида, основание которой — многоугольник, вписанный в окружность.

Ответ: Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины принадлежат поверхности этого шара.

Многогранник, описанный около шара

Многогранник называется описанным около шара (или описанным около сферы), если все его грани касаются поверхности этого шара (сферы). В этом случае шар называется вписанным в многогранник.

Для того чтобы в многогранник можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от плоскостей всех его граней. Эта точка будет центром вписанного шара, а расстояние от нее до любой грани (длина перпендикуляра) — его радиусом $r$. Такая точка является точкой пересечения всех биссекторных плоскостей двугранных углов многогранника.

Примерами многогранников, которые можно описать около шара, являются:

• Любой правильный многогранник.
• Любая правильная пирамида.
• Прямая призма, в основание которой можно вписать окружность, при условии, что высота призмы равна диаметру этой вписанной окружности.

Ответ: Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются этого шара.