Номер 3, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. По какой фигуре пересекаются шар и плоскость?

Взаимное расположение шара и плоскости определяет фигуру их пересечения. Результат зависит от соотношения между радиусом шара $R$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Расстояние до плоскости больше радиуса шара ($d > R$)

Если плоскость находится дальше от центра шара, чем его радиус, то у них нет общих точек. В этом случае шар и плоскость не пересекаются, и их пересечением является пустое множество.

Случай 2: Расстояние до плоскости равно радиусу шара ($d = R$)

Если расстояние от центра шара до плоскости в точности равно его радиусу, плоскость касается шара в одной точке. Эта точка и является фигурой пересечения. Такая плоскость называется касательной.

Случай 3: Расстояние до плоскости меньше радиуса шара ($d < R$)

Это наиболее общий случай пересечения. Когда плоскость проходит сквозь шар, фигурой, образующейся в сечении, является круг. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус этого круга $r$ можно вычислить по теореме Пифагора. Если рассмотреть прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус шара $R$, а катетами — расстояние от центра шара до плоскости $d$ и радиус сечения $r$, то получим равенство: $R^2 = d^2 + r^2$.

Отсюда радиус круга в сечении равен: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

Важно отметить, что чем ближе плоскость к центру шара (чем меньше $d$), тем больше радиус круга в сечении. Максимальный радиус сечения достигается, когда плоскость проходит через центр шара ($d=0$). В этом случае радиус сечения равен радиусу шара ($r=R$), а сам круг называется большим кругом шара.

Ответ: Пересечением шара и плоскости является круг. В частных случаях, когда плоскость касается шара, пересечением является точка, а если расстояние от центра шара до плоскости больше радиуса, то они не пересекаются.