Номер 278, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

278*. Основания сферического пояса равны $144\pi \text{ см}^2$ и $25\pi \text{ см}^2$, а его высота — 17 см.

Найдите радиус сферы.

Пусть $R$ — искомый радиус сферы. Сферический пояс — это часть сферы, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Основаниями сферического пояса являются круги, полученные в сечении сферы этими плоскостями.

По условию, площади оснований равны $S_1 = 144\pi \text{ см}^2$ и $S_2 = 25\pi \text{ см}^2$. Найдем радиусы этих оснований, $r_1$ и $r_2$, используя формулу площади круга $S = \pi r^2$.

$r_1 = \sqrt{\frac{S_1}{\pi}} = \sqrt{\frac{144\pi}{\pi}} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$.

$r_2 = \sqrt{\frac{S_2}{\pi}} = \sqrt{\frac{25\pi}{\pi}} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Высота сферического пояса $h = 17 \text{ см}$ представляет собой расстояние между секущими плоскостями.

Рассмотрим осевое сечение сферы, перпендикулярное основаниям пояса. В этом сечении сфера представляет собой большую окружность радиуса $R$, а основания пояса — две параллельные хорды. Пусть $d_1$ и $d_2$ — расстояния от центра сферы до плоскостей оснований с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных радиусом сферы $R$, радиусом основания $r$ и расстоянием $d$, имеем: $R^2 = r^2 + d^2$.

Для наших оснований получаем два уравнения:

$R^2 = r_1^2 + d_1^2 \implies R^2 = 12^2 + d_1^2 = 144 + d_1^2 \quad (1)$

$R^2 = r_2^2 + d_2^2 \implies R^2 = 5^2 + d_2^2 = 25 + d_2^2 \quad (2)$

Существует два возможных варианта взаимного расположения оснований относительно центра сферы.

Случай 1: Основания находятся по разные стороны от центра сферы.

В этом случае высота пояса равна сумме расстояний от центра до оснований: $h = d_1 + d_2 = 17$.

Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$144 + d_1^2 = 25 + d_2^2$

$d_2^2 - d_1^2 = 144 - 25 = 119$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(d_2 - d_1)(d_2 + d_1) = 119$.

Подставим известное значение $d_1 + d_2 = 17$:

$(d_2 - d_1) \cdot 17 = 119 \implies d_2 - d_1 = \frac{119}{17} = 7$.

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} d_2 + d_1 = 17 \\ d_2 - d_1 = 7 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2d_2 = 24$, откуда $d_2 = 12 \text{ см}$. Тогда $d_1 = 17 - d_2 = 17 - 12 = 5 \text{ см}$.

Найдем радиус сферы $R$, подставив значение $d_1$ в уравнение (1):

$R^2 = 144 + d_1^2 = 144 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.

$R = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.

Случай 2: Основания находятся по одну сторону от центра сферы.

В этом случае высота пояса равна разности расстояний от центра до оснований. Из уравнений (1) и (2) ($144 + d_1^2 = 25 + d_2^2$) следует, что $d_2 > d_1$. Таким образом, плоскость с меньшим радиусом ($r_2=5$) находится дальше от центра, и высота пояса равна $h = d_2 - d_1 = 17$.

Как и в первом случае, имеем $d_2^2 - d_1^2 = 119$, что дает $(d_2-d_1)(d_2+d_1)=119$.

Подставим $d_2 - d_1 = 17$:

$17 \cdot (d_2 + d_1) = 119 \implies d_2 + d_1 = 7$.

Решим систему:

$\begin{cases} d_2 - d_1 = 17 \\ d_2 + d_1 = 7 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2d_2 = 24 \implies d_2 = 12 \text{ см}$. Тогда $d_1 = d_2 - 17 = 12 - 17 = -5 \text{ см}$.

Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен.

Единственное возможное решение получено в первом случае.

Ответ: 13 см.