Номер 275, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

275*. Две параллельные секущие плоскости разделяют сферу на два купола и еще одну поверхность (рис. 155), которую называют сферическим поясом. Окружности сечений называются основаниями сферического пояса. Перпендикуляр, опущенный из одной секущей плоскости на другую, называют высотой сферического пояса. Докажите, что поверхность сферического пояса равна произведению его высоты и длины окружности большого круга (рис. 156).

Для доказательства того, что поверхность сферического пояса равна произведению его высоты и длины окружности большого круга, воспользуемся методом пределов. Мы аппроксимируем поверхность сферического пояса совокупностью боковых поверхностей усеченных конусов и найдем точное значение площади как предел суммы их площадей.

Пусть дана сфера радиуса $R$. Сферический пояс — это часть поверхности сферы, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Расстояние между этими плоскостями называется высотой сферического пояса, обозначим ее $h$. Длина окружности большого круга сферы равна $2 \pi R$. Требуется доказать, что площадь поверхности сферического пояса $S$ вычисляется по формуле:

$S = 2 \pi R h$

Доказательство:

1. Рассмотрим дугу большого круга, вращением которой вокруг диаметра образуется сферический пояс. Разобьем эту дугу на $n$ малых равных частей точками $M_0, M_1, M_2, \dots, M_n$. Соединив эти точки хордами, мы получим ломаную, вписанную в дугу.

2. При вращении этой ломаной вокруг диаметра сферы образуется тело, поверхность которого состоит из боковых поверхностей $n$ усеченных конусов. Площадь этой поверхности является приближенным значением площади сферического пояса.

3. Рассмотрим один из таких усеченных конусов, образованный вращением хорды $M_{k-1}M_k$. Площадь его боковой поверхности $S_k$ вычисляется по формуле:

$S_k = 2 \pi r_{mid} \cdot l_k$

где $l_k$ — длина хорды $M_{k-1}M_k$ (образующая усеченного конуса), а $r_{mid}$ — радиус среднего сечения усеченного конуса (окружности, проходящей через середину хорды).

4. Установим ключевое соотношение. Пусть $h_k$ — высота $k$-го усеченного конуса, то есть длина проекции хорды $M_{k-1}M_k$ на ось вращения. Пусть $C_k$ — середина хорды $M_{k-1}M_k$, а $O$ — центр сферы. Радиус, проведенный из центра сферы в середину хорды, перпендикулярен этой хорде: $OC_k \perp M_{k-1}M_k$.

Обозначим через $\alpha$ угол между хордой $M_{k-1}M_k$ и плоскостью основания конуса (плоскостью, перпендикулярной оси вращения). Из геометрии следует, что синус этого угла равен отношению высоты $h_k$ к длине хорды $l_k$:

$\sin(\alpha) = \frac{h_k}{l_k}$

Поскольку $OC_k \perp M_{k-1}M_k$, угол между отрезком $OC_k$ и осью вращения также равен $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $OC_k$ (гипотенуза), радиусом среднего сечения $r_{mid}$ (катет, противолежащий углу $\alpha$) и проекцией $OC_k$ на ось. Из этого треугольника имеем:

$\sin(\alpha) = \frac{r_{mid}}{|OC_k|}$

Приравнивая оба выражения для $\sin(\alpha)$, получаем:

$\frac{h_k}{l_k} = \frac{r_{mid}}{|OC_k|} \implies r_{mid} \cdot l_k = h_k \cdot |OC_k|$

5. Подставим полученное соотношение в формулу для площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_k = 2 \pi (r_{mid} \cdot l_k) = 2 \pi h_k \cdot |OC_k|$

6. Площадь всей аппроксимирующей поверхности $S_{approx}$ равна сумме площадей всех усеченных конусов:

$S_{approx} = \sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} 2 \pi h_k |OC_k| = 2 \pi \sum_{k=1}^{n} h_k |OC_k|$

7. Теперь найдем точное значение площади сферического пояса, устремив число разбиений $n$ к бесконечности ($n \to \infty$). При этом длина каждой хорды $l_k$ стремится к нулю. Следовательно, расстояние $|OC_k|$ от центра сферы до середины хорды будет стремиться к радиусу сферы $R$:

$\lim_{n \to \infty} |OC_k| = R$

Сумма высот всех усеченных конусов $\sum h_k$ равна общей высоте сферического пояса $h$. Это равенство сохраняется при любом $n$.

$\sum_{k=1}^{n} h_k = h$

8. Вычисляем предел:

$S = \lim_{n \to \infty} S_{approx} = \lim_{n \to \infty} \left( 2 \pi \sum_{k=1}^{n} h_k |OC_k| \right) = 2 \pi \sum_{k=1}^{n} \left( h_k \lim_{n \to \infty} |OC_k| \right) = 2 \pi \sum_{k=1}^{n} (h_k \cdot R) = 2 \pi R \sum_{k=1}^{n} h_k = 2 \pi R h$

Таким образом, мы доказали, что площадь поверхности сферического пояса равна произведению длины окружности большого круга ($2 \pi R$) на высоту пояса ($h$).

Ответ: Утверждение доказано. Площадь поверхности сферического пояса действительно равна произведению его высоты на длину окружности большого круга сферы, что выражается формулой $S=2\pi Rh$.