Номер 274, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

274*. Секущая плоскость разделяет сферу на две поверхности (рис. 153), каждая из которых называется сферическим куполом. Окружность сечения называется основанием купола. Каждый из отрезков, на которые секущая плоскость разделяет перпендикулярный ей диаметр сферы, называют высотой соответствующего сферического купола.

Рис. 154

Рис. 155

Докажите, что поверхность сферического купола равна произведению его высоты и длины окружности большого круга (рис. 154).

Для доказательства утверждения воспользуемся методом, который заключается в аппроксимации поверхности сферического купола совокупностью боковых поверхностей усеченных конусов, как это предложено на рисунке 154.

Рассмотрим сферический купол высотой h на сфере радиуса R. Длина окружности большого круга этой сферы равна $C = 2\pi R$. Требуется доказать, что площадь поверхности купола S равна произведению его высоты на длину окружности большого круга, то есть $S = 2\pi R h$.

Впишем в дугу, вращением которой образуется сферический купол, ломаную линию, состоящую из большого числа n малых равных звеньев (хорд). При вращении этой ломаной вокруг диаметра сферы (оси вращения) образуется тело, составленное из боковых поверхностей усеченных конусов. Сумма площадей этих поверхностей будет являться приближением для площади поверхности сферического купола. С увеличением числа n это приближение становится точнее.

Рассмотрим один из таких усеченных конусов, образованный вращением хорды длиной $l_k$. Площадь его боковой поверхности $S_k$ вычисляется по формуле $S_k = 2\pi r_{mid} l_k$, где $r_{mid}$ — радиус среднего сечения усеченного конуса (перпендикуляр, опущенный из середины хорды на ось вращения). Пусть $h_k$ — высота этого усеченного конуса (длина проекции хорды $l_k$ на ось вращения).

Пусть $O$ — центр сферы, а $Q_k$ — середина хорды $l_k$. Проведем отрезок $OQ_k$, который будет перпендикулярен хорде $l_k$. Обозначим через $\alpha$ угол между отрезком $OQ_k$ и осью вращения. Тогда радиус среднего сечения $r_{mid}$ равен $r_{mid} = OQ_k \sin\alpha$. Поскольку хорда $l_k$ перпендикулярна $OQ_k$, угол между хордой и осью вращения будет равен $90^\circ - \alpha$. Тогда высота усеченного конуса $h_k$ как проекция хорды на ось равна: $h_k = l_k \cos(90^\circ - \alpha) = l_k \sin\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для площади $S_k$: $S_k = 2\pi r_{mid} l_k = 2\pi (OQ_k \sin\alpha) l_k = 2\pi \cdot OQ_k \cdot (l_k \sin\alpha)$. Заменяя $l_k \sin\alpha$ на $h_k$, получаем: $S_k = 2\pi \cdot OQ_k \cdot h_k$.

Чтобы найти точную площадь поверхности сферического купола, необходимо перейти к пределу, устремив число звеньев $n$ к бесконечности. При этом длина каждой хорды $l_k$ будет стремиться к нулю. Расстояние $OQ_k$ от центра сферы до середины хорды связано с радиусом сферы $R$ соотношением $OQ_k = \sqrt{R^2 - (l_k/2)^2}$. Когда $l_k \to 0$, расстояние $OQ_k$ стремится к $R$.

Таким образом, точная площадь поверхности купола $S$ равна пределу суммы площадей всех усеченных конусов: $S = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} S_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} (2\pi \cdot OQ_k \cdot h_k) = \sum_{k=1}^{n} (2\pi \cdot R \cdot h_k) = 2\pi R \sum_{k=1}^{n} h_k$. Сумма высот всех усеченных конусов $\sum h_k$ равна общей высоте сферического купола $h$. Следовательно, получаем итоговую формулу: $S = 2\pi R h$.

Мы доказали, что площадь поверхности сферического купола ($S$) равна произведению длины окружности большого круга ($C = 2\pi R$) на высоту купола ($h$).

Ответ: Утверждение доказано. Площадь поверхности сферического купола $S$ с высотой $h$ на сфере радиуса $R$ вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$, что равно произведению высоты купола на длину окружности большого круга.