Номер 267, страница 87 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

267. Перпендикулярные плоскости так пересекают сферу, что полученные сечения имеют единственную общую точку, а их радиусы равны $r_1$ и $r_2$. Найдите поверхность сферы.

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Две перпендикулярные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекают эту сферу. В сечении сферы плоскостью получаются окружности.

Пусть плоскость $\alpha$ пересекает сферу по окружности $C_1$ с радиусом $r_1$ и центром $O_1$. Пусть плоскость $\beta$ пересекает сферу по окружности $C_2$ с радиусом $r_2$ и центром $O_2$.

Центр сечения, например $O_1$, является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы $O$ на плоскость сечения $\alpha$. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения, $d_1 = OO_1$, связано с радиусом сферы $R$ и радиусом сечения $r_1$ соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $R^2 = r_1^2 + d_1^2$.

Аналогично для второго сечения, где $d_2 = OO_2$ - расстояние от центра сферы до плоскости $\beta$: $R^2 = r_2^2 + d_2^2$.

По условию, полученные сечения (окружности $C_1$ и $C_2$) имеют единственную общую точку. Назовем эту точку $A$. Точка $A$ лежит на обеих окружностях и, следовательно, на обеих плоскостях $\alpha$ и $\beta$. Значит, точка $A$ лежит на линии пересечения плоскостей $L = \alpha \cap \beta$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим общую точку $A$ в начало координат $A(0, 0, 0)$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны и проходят через начало координат, мы можем выбрать их в качестве координатных плоскостей. Пусть $\alpha$ - это плоскость $z=0$ (плоскость $xy$), а $\beta$ - это плоскость $y=0$ (плоскость $xz$).

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x_0, y_0, z_0)$. Тогда квадрат радиуса сферы равен $R^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2$.

Первое сечение, окружность $C_1$, лежит в плоскости $z=0$. Ее центр $O_1$ является проекцией центра сферы $O(x_0, y_0, z_0)$ на эту плоскость, то есть $O_1(x_0, y_0, 0)$. Радиус этой окружности равен $r_1$. Так как точка $A(0,0,0)$ лежит на этой окружности, расстояние от ее центра $O_1$ до точки $A$ равно радиусу $r_1$: $AO_1^2 = (x_0 - 0)^2 + (y_0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 = x_0^2 + y_0^2$. Следовательно, $r_1^2 = x_0^2 + y_0^2$.

Второе сечение, окружность $C_2$, лежит в плоскости $y=0$. Ее центр $O_2$ является проекцией центра сферы $O(x_0, y_0, z_0)$ на эту плоскость, то есть $O_2(x_0, 0, z_0)$. Радиус этой окружности равен $r_2$. Так как точка $A(0,0,0)$ лежит на этой окружности, расстояние от ее центра $O_2$ до точки $A$ равно радиусу $r_2$: $AO_2^2 = (x_0 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (z_0 - 0)^2 = x_0^2 + z_0^2$. Следовательно, $r_2^2 = x_0^2 + z_0^2$.

Теперь используем условие, что точка $A$ - единственная общая точка. Линия пересечения плоскостей - это ось $x$ (где $y=0$ и $z=0$). Найдем все точки пересечения окружностей. Точка $(x,y,z)$ должна лежать на обеих окружностях. Уравнение $C_1$ в плоскости $z=0$: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r_1^2$. Уравнение $C_2$ в плоскости $y=0$: $(x-x_0)^2 + (z-z_0)^2 = r_2^2$. Точка пересечения должна лежать на оси $x$, то есть ее координаты $(x, 0, 0)$. Подставим $y=0$ и $z=0$: 1) $(x-x_0)^2 + (0-y_0)^2 = r_1^2 \implies (x-x_0)^2 + y_0^2 = r_1^2$. 2) $(x-x_0)^2 + (0-z_0)^2 = r_2^2 \implies (x-x_0)^2 + z_0^2 = r_2^2$.

Из соотношений для радиусов сечений мы знаем, что $y_0^2 = r_1^2 - x_0^2$. Подставим это в первое уравнение для $x$: $(x-x_0)^2 + (r_1^2 - x_0^2) = r_1^2 \implies (x-x_0)^2 = x_0^2$. Это уравнение относительно $x$ имеет два решения: $x-x_0 = x_0$ (то есть $x=2x_0$) и $x-x_0 = -x_0$ (то есть $x=0$). Таким образом, точки пересечения имеют x-координаты $0$ и $2x_0$. Чтобы точка пересечения была единственной, эти два решения должны совпадать: $2x_0 = 0$, откуда $x_0=0$.

Если $x_0=0$, то наши соотношения для радиусов сечений принимают вид: $r_1^2 = 0^2 + y_0^2 \implies r_1^2 = y_0^2$. $r_2^2 = 0^2 + z_0^2 \implies r_2^2 = z_0^2$.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R$: $R^2 = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 0^2 + r_1^2 + r_2^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Площадь поверхности сферы $S$ вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Подставив найденное выражение для $R^2$, получаем: $S = 4\pi (r_1^2 + r_2^2)$.

Ответ: $S = 4\pi(r_1^2 + r_2^2)$.