Номер 263, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

263. Сфера касается сторон треугольника с длинами 10 см, 10 см и 16 см, а ее центр отстоит на 26 см от вершины большего угла. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 10$ см, $AC = 10$ см и $BC = 16$ см. В треугольнике больший угол лежит против большей стороны. Самая длинная сторона — $BC = 16$ см, следовательно, самый большой угол — это $\angle A$, находящийся в вершине $A$.

Пусть $O$ — центр сферы. Так как сфера касается всех сторон треугольника, ее центр $O$ равноудален от прямых, содержащих стороны треугольника. Проекция центра сферы $O$ на плоскость треугольника $ABC$ — это точка, равноудаленная от сторон треугольника в этой плоскости. Такой точкой является центр вписанной в треугольник окружности. Обозначим эту проекцию как $O'$.

Искомое расстояние от центра сферы до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OO'$, обозначим ее $h$. По условию, расстояние от центра сферы $O$ до вершины большего угла $A$ равно $OA = 26$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOO'$, в котором катеты — это $OO' = h$ и $AO'$, а гипотенуза — $AO$. По теореме Пифагора:$AO^2 = AO'^2 + h^2$Отсюда $h = \sqrt{AO^2 - AO'^2}$. Чтобы найти $h$, нам необходимо сначала вычислить длину отрезка $AO'$.

Найдем $AO'$ в плоскости треугольника. Треугольник $ABC$ — равнобедренный. Проведем высоту $AM$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Значит, $M$ — середина $BC$, и $BM = MC = \frac{16}{2} = 8$ см. Из прямоугольного треугольника $AMC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AM$:$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

Центр вписанной окружности $O'$ лежит на биссектрисе угла $A$, которая совпадает с высотой $AM$. Расстояние от центра вписанной окружности до любой из сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Найдем $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48$ см$^2$.
Полупериметр: $p = \frac{10 + 10 + 16}{2} = 18$ см.
Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}$ см.

Расстояние от точки $O'$ до основания $BC$ равно $r$, то есть $O'M = r = \frac{8}{3}$ см. Так как точка $O'$ лежит на отрезке $AM$, то расстояние от вершины $A$ до центра вписанной окружности $O'$ равно:$AO' = AM - O'M = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ см.

Теперь, зная $AO$ и $AO'$, мы можем найти искомое расстояние $h$ из прямоугольного треугольника $\triangle AOO'$:$h^2 = AO^2 - AO'^2 = 26^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 676 - \frac{100}{9}$
$h^2 = \frac{676 \cdot 9 - 100}{9} = \frac{6084 - 100}{9} = \frac{5984}{9}$
$h = \sqrt{\frac{5984}{9}} = \frac{\sqrt{5984}}{3}$
Упростим корень: $\sqrt{5984} = \sqrt{16 \cdot 374} = 4\sqrt{374}$.
Следовательно, $h = \frac{4\sqrt{374}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\sqrt{374}}{3}$ см.