Номер 257, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

257*. Вершина конуса принадлежит сфере, его ось проходит через центр, а образующая пересекает поверхность сферы. Найдите поверхность части конуса, размещенной внутри сферы, учитывая, что радиус сферы равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения конуса — $30^\circ$.

Обозначим радиус сферы как $R$, а угол при вершине осевого сечения конуса как $2\alpha$. По условию задачи, $R=12$ см, а $2\alpha=30^\circ$, следовательно, половина угла при вершине (угол между образующей и осью конуса) $\alpha = 15^\circ$.

Рассмотрим осевое сечение. Вершина конуса $V$ лежит на сфере, а его ось проходит через центр сферы $O$. Таким образом, $V$ и $O$ лежат на оси конуса, и расстояние $VO$ равно радиусу сферы $R$.

Часть конуса, расположенная внутри сферы, является телом, поверхность которого состоит из боковой поверхности усеченного конуса ($S_{бок}$) и поверхности сферического сегмента ($S_{сегм}$), который "закрывает" этот конус. Нам нужно найти общую площадь этой поверхности $S_{полн} = S_{бок} + S_{сегм}$.

Найдем параметры конической части: образующую $l$, радиус основания $r$ и высоту $h$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $VOA$ в осевом сечении, где $A$ — точка пересечения образующей со сферой. Так как $VO=OA=R$, треугольник $VOA$ равнобедренный. Угол при вершине конуса $\angle OVA = \alpha=15^\circ$.

Проведем более глубокий анализ геометрии. Пусть $C$ — центр основания конической части, лежащий на оси $VO$. Угол $\angle AOC$, где $A$ — точка на окружности основания, связан с углом $\alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, его образующей и радиусом основания, имеем $\tan \alpha = \frac{r}{h}$. Основание конуса лежит в плоскости, перпендикулярной оси $VO$. Расстояние от центра сферы $O$ до этой плоскости равно $OC$, а радиус основания $r = AC$. Из прямоугольного треугольника $OAC$ имеем $r=R\sin(\angle AOC)$ и $OC=R\cos(\angle AOC)$. Высота конической части $h = VC = VO+OC = R+R\cos(\angle AOC)$. Подставляя это в формулу для тангенса: $\tan\alpha = \frac{R\sin(\angle AOC)}{R(1+\cos(\angle AOC))} = \frac{\sin(\angle AOC)}{1+\cos(\angle AOC)}$ Используя формулу тангенса половинного угла $\tan\frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$, получаем $\alpha = \frac{\angle AOC}{2}$, откуда $\angle AOC = 2\alpha = 30^\circ$.

Теперь мы можем выразить параметры конуса через $R$ и $\alpha$: Образующая $l$: из прямоугольного треугольника, образованного высотой и образующей, $l = \frac{h}{\cos\alpha}$. Высота $h = VC = VO+OC = R+R\cos(2\alpha) = R(1+\cos(2\alpha)) = R(2\cos^2\alpha) = 2R\cos^2\alpha$. Следовательно, $l = \frac{2R\cos^2\alpha}{\cos\alpha} = 2R\cos\alpha$. Радиус основания $r = l\sin\alpha = (2R\cos\alpha)\sin\alpha = R(2\sin\alpha\cos\alpha) = R\sin(2\alpha)$.

Вычислим числовые значения параметров, используя $R=12$ см и $\alpha=15^\circ$. Нам понадобится значение $\cos 15^\circ$: $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. $l = 2 \cdot 12 \cdot \cos 15^\circ = 24 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 6(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ см. $r = 12 \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ) = 12 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Теперь вычислим площади поверхностей. Площадь боковой поверхности конической части: $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 6(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 36\pi(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ см$^2$.

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле $S_{сегм} = 2\pi R h_{сегм}$, где $h_{сегм}$ — высота сегмента. Высота нашего сферического сегмента, вершиной которого является точка $V$, равна высоте конической части $h$. $h = l\cos\alpha = 6(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 6 \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{4} = \frac{3}{2}(6+2\sqrt{12}+2) = \frac{3}{2}(8+4\sqrt{3}) = 12+6\sqrt{3}$ см. $S_{сегм} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 12 \cdot (12+6\sqrt{3}) = 24\pi \cdot 6(2+\sqrt{3}) = 144\pi(2+\sqrt{3})$ см$^2$.

Полная искомая поверхность равна сумме этих площадей: $S_{полн} = S_{бок} + S_{сегм} = 36\pi(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + 144\pi(2+\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $36\pi(\sqrt{6}+\sqrt{2}) + 144\pi(2+\sqrt{3}) \text{ см}^2$.