Номер 258, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

258*. На сфере с радиусом $R$ выбраны такие точки $A$, $B$, $C$ и $D$, что

$\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2\varphi$ и $AD = BD = CD$. Найдите:

а) хорды $AB$ и $AD$;

б) площадь сечения сферы плоскостью $ABC$.

Из условия задачи следует, что точки A, B, C, D лежат на сфере, а также, что треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ равны по двум сторонам и углу между ними (поскольку $AD=BD=CD$ и $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 2\varphi$). Из равенства этих треугольников следует равенство их оснований: $AB = BC = CA$. Таким образом, $\triangle ABC$ является равносторонним, а тетраэдр $ABCD$ является правильной треугольной пирамидой с вершиной $D$ и основанием $ABC$.

а) хорды AB и AD;

Обозначим длину боковых ребер пирамиды $d = AD = BD = CD$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ADB$. По теореме косинусов найдем длину основания $AB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$ $AB^2 = d^2 + d^2 - 2 \cdot d \cdot d \cdot \cos(2\varphi) = 2d^2(1 - \cos(2\varphi))$ Используя формулу понижения степени $1 - \cos(2\varphi) = 2\sin^2\varphi$, получаем: $AB^2 = 2d^2(2\sin^2\varphi) = 4d^2\sin^2\varphi$ $AB = 2d\sin\varphi$

Теперь найдем $d$ через радиус сферы $R$. Сфера, на которой лежат точки A, B, C, D, является описанной около пирамиды $ABCD$. Центр описанной сферы для правильной пирамиды лежит на ее высоте. Пусть $H$ — центр основания $\triangle ABC$. Тогда $DH$ — высота пирамиды. $H$ также является центром окружности, описанной около $\triangle ABC$. Радиус этой окружности $r_{ABC} = AH$. Поскольку $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной $AB$, его радиус описанной окружности равен: $r_{ABC} = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}$

Из прямоугольного треугольника $\triangle ADH$ найдем высоту пирамиды $h = DH$: $h^2 = AD^2 - AH^2 = d^2 - r_{ABC}^2 = d^2 - \left(\frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}\right)^2 = d^2 - \frac{4d^2\sin^2\varphi}{3} = d^2\left(1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}\right)$ $h = d\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}$

Радиус $R$ описанной сферы для правильной пирамиды связан с ее высотой $h$ и длиной бокового ребра $d$ формулой: $R = \frac{d^2}{2h}$ Подставим выражение для $h$: $R = \frac{d^2}{2d\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}} = \frac{d}{2\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}}$ Отсюда выразим $d$: $d = 2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}$ Это и есть длина хорды $AD$.

Теперь найдем длину хорды $AB$, подставив найденное выражение для $d$ в формулу $AB = 2d\sin\varphi$: $AB = 2 \left(2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}\right) \sin\varphi = 4R\sin\varphi\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}$

Ответ: $AD = 2R\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\varphi}$, $AB = 4R\sin\varphi\sqrt{1 - \frac{4}{3}\sin^2\varphi}$.

б) площадь сечения сферы плоскостью ABC.

Сечением сферы плоскостью является круг. В данном случае плоскость $ABC$ пересекает сферу по окружности, которая является описанной окружностью для треугольника $\triangle ABC$. Площадь этого круга (сечения) равна $S_{сеч} = \pi r_{ABC}^2$, где $r_{ABC}$ — радиус описанной окружности $\triangle ABC$.

Мы уже нашли связь между $r_{ABC}$ и $d$: $r_{ABC} = \frac{2d\sin\varphi}{\sqrt{3}}$ Возведем в квадрат: $r_{ABC}^2 = \frac{4d^2\sin^2\varphi}{3}$

Из пункта а) мы знаем, что $d = 2R\sqrt{1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}}$. Возведем в квадрат: $d^2 = 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}\right)$

Подставим выражение для $d^2$ в формулу для $r_{ABC}^2$: $r_{ABC}^2 = \frac{4\sin^2\varphi}{3} \cdot 4R^2\left(1 - \frac{4\sin^2\varphi}{3}\right) = \frac{16R^2\sin^2\varphi}{3} \left(\frac{3 - 4\sin^2\varphi}{3}\right) = \frac{16R^2}{9}\sin^2\varphi(3 - 4\sin^2\varphi)$

Теперь найдем площадь сечения: $S_{сеч} = \pi r_{ABC}^2 = \pi \frac{16R^2}{9}\sin^2\varphi(3 - 4\sin^2\varphi)$

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha = \sin\alpha(3 - 4\sin^2\alpha)$. Отсюда $3 - 4\sin^2\varphi = \frac{\sin(3\varphi)}{\sin\varphi}$. Подставим это в выражение для площади: $S_{сеч} = \pi \frac{16R^2}{9}\sin^2\varphi \left(\frac{\sin(3\varphi)}{\sin\varphi}\right) = \frac{16\pi R^2}{9}\sin\varphi\sin(3\varphi)$

Ответ: $\frac{16\pi R^2}{9}\sin\varphi\sin(3\varphi)$.