Номер 255, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

255. При пересечении сферы с радиусом 14 см с двумя плоскостями образуются две равные окружности с общей хордой 4 см (рис. 151). Найдите радиусы окружностей.

Рис. 151

Дано:
Сфера с центром в точке O и радиусом $R = 14$ см.
Две плоскости пересекают сферу, образуя две равные окружности.
Окружности имеют общую хорду $AB$ длиной 4 см.

Найти:
Радиусы $r$ образовавшихся окружностей.

Решение:

1. Обозначим центры образовавшихся окружностей как $O_1$ и $O_2$, а их радиус как $r$. Так как по условию окружности равны, то их радиусы одинаковы. Равные сечения-окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра сферы. Пусть это расстояние будет $d$. Таким образом, $OO_1 = OO_2 = d$.

2. Рассмотрим одну из окружностей, например, с центром $O_1$. Точка $A$ лежит на этой окружности и одновременно на сфере. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения ($OO_1$), радиус сечения ($O_1A=r$) и радиус сферы ($OA=R$) образуют прямоугольный треугольник $\triangle OO_1A$, где $\angle OO_1A = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$R^2 = d^2 + r^2$
$14^2 = d^2 + r^2$
$196 = d^2 + r^2$ (1)

3. Общая хорда $AB$ является линией пересечения двух секущих плоскостей. Прямая $OO_1$ перпендикулярна первой плоскости, а прямая $OO_2$ перпендикулярна второй плоскости. Линия пересечения двух плоскостей (хорда $AB$) перпендикулярна обеим этим прямым, а значит, и всей плоскости, в которой они лежат (плоскости $O_1OO_2$).

4. Из рисунка и стандартного условия подобных задач следует, что секущие плоскости перпендикулярны. Это означает, что их нормали, проведенные из центра сферы (отрезки $OO_1$ и $OO_2$), также перпендикулярны. Следовательно, $\angle O_1OO_2 = 90^\circ$.

5. Введем декартову систему координат с центром в точке $O(0, 0, 0)$. Направим ось Ox вдоль $OO_1$ и ось Oy вдоль $OO_2$. Тогда координаты центров окружностей будут $O_1(d, 0, 0)$ и $O_2(0, d, 0)$.
Уравнение первой плоскости: $x = d$.
Уравнение второй плоскости: $y = d$.
Линия пересечения этих плоскостей (на которой лежит хорда $AB$) задается системой уравнений $\begin{cases} x = d \\ y = d \end{cases}$.

6. Точки $A$ и $B$ лежат на этой линии и на поверхности сферы, уравнение которой $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = 14^2$. Подставим $x=d$ и $y=d$ в уравнение сферы:
$d^2 + d^2 + z^2 = 196$
$2d^2 + z^2 = 196$
$z^2 = 196 - 2d^2$
Координаты $z$ для точек $A$ и $B$ равны $z_A = \sqrt{196 - 2d^2}$ и $z_B = -\sqrt{196 - 2d^2}$.

7. Длина хорды $AB$ — это расстояние между точками $A(d, d, z_A)$ и $B(d, d, z_B)$:
$AB = |z_A - z_B| = \sqrt{196 - 2d^2} - (-\sqrt{196 - 2d^2}) = 2\sqrt{196 - 2d^2}$.
По условию $AB = 4$ см.
$4 = 2\sqrt{196 - 2d^2}$
$2 = \sqrt{196 - 2d^2}$
Возведем обе части в квадрат:
$4 = 196 - 2d^2$
$2d^2 = 196 - 4$
$2d^2 = 192$
$d^2 = 96$

8. Теперь найдем радиус окружностей $r$. Подставим значение $d^2 = 96$ в уравнение (1):
$196 = 96 + r^2$
$r^2 = 196 - 96$
$r^2 = 100$
$r = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.