Номер 250, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

250. Найдите геометрическое место проекций точки $A$ на все плоскости, которые можно провести через точку $B$.

Пусть A и B — две заданные точки в пространстве.

Рассмотрим сначала основной случай, когда точки A и B различны ($A \neq B$). Пусть H — это ортогональная проекция точки A на произвольную плоскость $\alpha$, которая проходит через точку B.

По определению ортогональной проекции, прямая AH перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку точка B по условию лежит в плоскости $\alpha$, то и прямая BH целиком лежит в этой плоскости.

Из того, что прямая AH перпендикулярна плоскости $\alpha$, следует, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $AH \perp BH$. Это означает, что треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H, то есть $\angle AHB = 90^\circ$.

Геометрическое место точек H в пространстве, таких что угол $\angle AHB$ является прямым, — это сфера, построенная на отрезке AB как на диаметре. Таким образом, любая проекция точки A на плоскость, проходящую через B, лежит на этой сфере.

Теперь докажем обратное утверждение: любая точка H на указанной сфере является проекцией точки A на некоторую плоскость, проходящую через B.

Пусть H — произвольная точка на сфере с диаметром AB. По свойству углов, вписанных в окружность (в данном случае, в сечение сферы), угол, опирающийся на диаметр, является прямым, следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$.

• Если $H \neq A$, то мы можем построить плоскость $\alpha$, проходящую через точку H и перпендикулярную прямой AH. Поскольку $BH \perp AH$, прямая BH лежит в этой плоскости $\alpha$. А так как прямая BH лежит в плоскости $\alpha$, то и точка B принадлежит этой плоскости. Таким образом, мы нашли плоскость $\alpha$, проходящую через B, на которую точка A проектируется в точку H.
• Если $H = A$, точка A является проекцией самой себя на любую плоскость, которая её содержит. Любая плоскость, проходящая через прямую AB, содержит и точку A, и точку B. Точка A как конец диаметра лежит на сфере.
• Если $H = B$, точка B является проекцией точки A на плоскость, проходящую через B и перпендикулярную отрезку AB. Точка B как второй конец диаметра также лежит на сфере.

Следовательно, множество всех таких проекций H в точности совпадает со множеством точек сферы, построенной на отрезке AB как на диаметре.

В частном случае, когда точки A и B совпадают ($A = B$), любая плоскость, проходящая через B, автоматически проходит и через A. Проекцией точки A на плоскость, в которой она лежит, является сама точка A. Таким образом, искомое геометрическое место вырождается в одну точку A (или B), что можно считать сферой с нулевым радиусом.

Ответ: Сфера, построенная на отрезке AB как на диаметре.