Номер 243, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

243. Определите, через какие две точки сферы можно провести:

а) бесконечно много больших окружностей;

б) только одну большую окружность.

а) Большая окружность сферы — это линия пересечения сферы с плоскостью, проходящей через её центр. Обозначим центр сферы буквой $O$, а две точки на её поверхности — $A$ и $B$. Чтобы большая окружность проходила через точки $A$ и $B$, плоскость этой окружности должна также проходить через центр сферы $O$. Таким образом, мы ищем условия, при которых через три точки ($O$, $A$ и $B$) можно провести бесконечное множество плоскостей.

Из аксиом стереометрии известно, что бесконечное множество плоскостей можно провести через три точки только в том случае, если они лежат на одной прямой (коллинеарны). Если точки $A$, $B$ и центр сферы $O$ лежат на одной прямой, это означает, что отрезок $AB$ является диаметром сферы, а точки $A$ и $B$ — диаметрально противоположными (антиподами).

Через любой диаметр сферы можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет пересекать сферу по большой окружности, проходящей через концы этого диаметра.

Ответ: через две диаметрально противоположные точки.

б) Теперь определим, через какие две точки можно провести только одну большую окружность. Как было установлено в предыдущем пункте, большая окружность определяется плоскостью, проходящей через две заданные точки на сфере ($A$ и $B$) и центр сферы ($O$).

Чтобы через точки $A$, $B$ и $O$ можно было провести только одну плоскость, эти три точки не должны лежать на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Условие, что точки $A$, $B$ и $O$ не коллинеарны, выполняется тогда, когда точки $A$ и $B$ не являются диаметрально противоположными. В этом случае они вместе с центром сферы $O$ образуют треугольник и однозначно задают плоскость, которая, пересекая сферу, образует единственную большую окружность.

Ответ: через две точки, не являющиеся диаметрально противоположными.