Номер 244, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

244. Сфера с радиусом $R$ высекает из плоскости, отстоящей на $d$ от ее центра, фигуру $F$. Найдите:

а) площадь $S$ фигуры $F$, учитывая, что $R = 18 \text{ см}$, $d = 12 \text{ см}$;

б) $R$, учитывая, что площадь фигуры $F$ равна $18\pi \text{ см}^2$, $d = 3 \text{ см}$.

При пересечении сферы плоскостью образуется фигура $F$, которая является кругом. Пусть радиус сферы равен $R$, расстояние от центра сферы до плоскости равно $d$, а радиус получившегося в сечении круга равен $r$. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где $R$ — гипотенуза, а $d$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора, они связаны соотношением:
$R^2 = d^2 + r^2$
Площадь $S$ круга (фигуры $F$) вычисляется по формуле:
$S = \pi r^2$
Из соотношения Пифагора выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - d^2$. Подставив это в формулу площади, получим:
$S = \pi (R^2 - d^2)$

а) Найдем площадь $S$ фигуры $F$, если $R = 18$ см и $d = 12$ см.
Подставляем данные значения в выведенную формулу:
$S = \pi (18^2 - 12^2)$
$S = \pi (324 - 144)$
$S = 180\pi$ (см²)
Ответ: $S = 180\pi$ см².

б) Найдем радиус сферы $R$, если площадь фигуры $F$ равна $S = 18\pi$ см², а расстояние $d = 3$ см.
Используем ту же формулу $S = \pi (R^2 - d^2)$ и подставим в нее известные значения:
$18\pi = \pi (R^2 - 3^2)$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$18 = R^2 - 9$
Отсюда выразим $R^2$:
$R^2 = 18 + 9 = 27$
Так как радиус — величина положительная, находим $R$:
$R = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ (см)
Ответ: $R = 3\sqrt{3}$ см.