Номер 245, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

245. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости:

a) прямоугольника, вершины которого лежат на сфере с радиусом 30 см, а диагональ равна 48 см;

б) треугольника, вершины которого лежат на сфере с радиусом 26 см, а стороны равны 12 см, 16 см и 20 см.

а)

Пусть $R$ - это радиус сферы, а $d$ - искомое расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника. По условию, $R = 30$ см. Вершины прямоугольника лежат на сфере, это означает, что они лежат на окружности, которая является сечением сферы плоскостью прямоугольника. Эта окружность является описанной окружностью для данного прямоугольника.

Пусть $r$ - радиус этой описанной окружности. Расстояние $d$ связано с радиусом сферы $R$ и радиусом сечения $r$ соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $R^2 = d^2 + r^2$. Отсюда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Диагональ прямоугольника дана и равна $D = 48$ см. Найдем радиус $r$: $r = \frac{D}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $d$: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

б)

Аналогично предыдущему пункту, вершины треугольника лежат на окружности, являющейся сечением сферы плоскостью этого треугольника. Радиус сферы $R = 26$ см. Пусть $r$ - радиус описанной около треугольника окружности, а $d$ - искомое расстояние. Расстояние $d$ находится по формуле $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Сначала нам нужно найти радиус $r$ окружности, описанной около треугольника со сторонами $a = 12$ см, $b = 16$ см и $c = 20$ см. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.

$a^2 + b^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$c^2 = 20^2 = 400$
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, а его гипотенуза равна $c = 20$ см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. $r = \frac{c}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Теперь вычислим искомое расстояние $d$: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.