Номер 246, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

246. Найдите длину линии пересечения сфер, радиусы которых равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между центрами — 36 дм.

Линией пересечения двух сфер является окружность. Чтобы найти ее длину, необходимо сначала найти ее радиус.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры обеих сфер, $O_1$ и $O_2$. В этом сечении мы получим две пересекающиеся окружности. Пусть радиусы сфер равны $R_1 = 25$ дм и $R_2 = 29$ дм, а расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 36$ дм.

Пусть $A$ - точка на линии пересечения сфер. Тогда мы можем рассмотреть треугольник $\triangle O_1AO_2$, стороны которого равны радиусам сфер и расстоянию между их центрами: $O_1A = R_1 = 25$ дм, $O_2A = R_2 = 29$ дм и $O_1O_2 = 36$ дм. Радиус $r$ окружности, по которой пересекаются сферы, является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $O_1O_2$.

Найдем радиус $r$, вычислив площадь треугольника $\triangle O_1AO_2$ двумя способами. Сначала воспользуемся формулой Герона.

Найдем полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{R_1 + R_2 + d}{2} = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ дм.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника:

$S = \sqrt{p(p-R_1)(p-R_2)(p-d)}$

$S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9}$

$S = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2 \cdot 4^2} = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4 = 360$ дм$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его основания $d$ на высоту $r$:

$S = \frac{1}{2} d \cdot r$

Подставим известные значения и найдем $r$:

$360 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot r$

$360 = 18r$

$r = \frac{360}{18} = 20$ дм.

Таким образом, радиус окружности пересечения сфер равен $20$ дм.

Длина линии пересечения (длина окружности) вычисляется по формуле $L = 2\pi r$.

$L = 2 \cdot \pi \cdot 20 = 40\pi$ дм.

Ответ: $40\pi$ дм.