Номер 239, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

239. Установите, верно ли, что:

а) любые две разные точки сферы определяют ее единственную большую окружность;

б) центр сферы является центром ее симметрии;

в) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы;

г) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии.

а) Утверждение: любые две разные точки сферы определяют ее единственную большую окружность.

Большая окружность сферы — это сечение сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Пусть центр сферы — точка $O$, а $A$ и $B$ — две различные точки на сфере. Для того чтобы точки $A$ и $B$ определяли единственную большую окружность, необходимо, чтобы точки $O$, $A$ и $B$ однозначно задавали плоскость. Три точки задают единственную плоскость тогда и только тогда, когда они не лежат на одной прямой.

Рассмотрим случай, когда точки $A$ и $B$ являются диаметрально противоположными (антиподальными). В этом случае они лежат на прямой, проходящей через центр сферы $O$. То есть, точки $O$, $A$ и $B$ коллинеарны. Через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать центр $O$ и, следовательно, пересекая сферу, будет образовывать большую окружность, проходящую через точки $A$ и $B$.

Таким образом, если две точки на сфере диаметрально противоположны, они не определяют единственную большую окружность. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.

Ответ: Неверно.

б) Утверждение: центр сферы является центром ее симметрии.

Центр симметрии фигуры — это точка, относительно которой симметрична любая точка фигуры. Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Сфера представляет собой множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии $R$ от точки $O$.

Возьмем произвольную точку $A$ на сфере. Для нее выполняется условие $|OA| = R$. Точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, определяется условием $\vec{OA'} = -\vec{OA}$. Найдем расстояние от точки $A'$ до центра $O$: $|OA'| = |-\vec{OA}| = |\vec{OA}| = R$.

Поскольку расстояние от точки $A'$ до центра $O$ также равно радиусу $R$, точка $A'$ тоже принадлежит сфере. Это справедливо для любой точки $A$ на сфере. Следовательно, центр сферы является ее центром симметрии.

Ответ: Верно.

в) Утверждение: любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы.

Осью симметрии фигуры называется прямая, при повороте вокруг которой фигура совмещается сама с собой. Рассмотрим любую прямую $l$, проходящую через центр сферы $O$.

При повороте пространства вокруг оси $l$ на любой угол, любая точка на этой оси остается неподвижной. Таким образом, центр сферы $O$ остается на месте. Вращение является изометрическим преобразованием, то есть сохраняет расстояния. Пусть $A$ — произвольная точка на сфере, а $A'$ — ее образ при повороте вокруг оси $l$. Расстояние от точки до центра сферы при таком повороте не изменится: $|OA'| = |OA| = R$.

Это означает, что точка $A'$ также принадлежит сфере. Так как это верно для любой точки $A$ на сфере и для любого угла поворота, сфера отображается сама на себя. Следовательно, любая прямая, проходящая через центр сферы, является ее осью симметрии.

Ответ: Верно.

г) Утверждение: любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии.

Плоскостью симметрии фигуры называется такая плоскость, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой плоскости также принадлежит фигуре. Пусть $\alpha$ — любая плоскость, проходящая через центр сферы $O$.

Возьмем произвольную точку $A$ на сфере. Пусть $A'$ — точка, симметричная точке $A$ относительно плоскости $\alpha$. По определению, отрезок $AA'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$ и делится ею пополам в некоторой точке $H$. Так как плоскость $\alpha$ проходит через центр $O$, то $O$ лежит в этой плоскости.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (где $\angle OHA = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $|OA|^2 = |OH|^2 + |AH|^2$. Поскольку $A$ лежит на сфере, $|OA| = R$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OHA'$. Он также прямоугольный, и, по определению симметрии, $|A'H| = |AH|$. Тогда по теореме Пифагора для $\triangle OHA'$: $|OA'|^2 = |OH|^2 + |A'H|^2 = |OH|^2 + |AH|^2$.

Следовательно, $|OA'|^2 = |OA|^2 = R^2$, откуда $|OA'| = R$. Это означает, что точка $A'$ также принадлежит сфере. Так как $A$ — произвольная точка сферы, любая плоскость, проходящая через центр, является плоскостью симметрии сферы.

Ответ: Верно.