Номер 7, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Сформулируйте свойство касательной плоскости сферы; признак касательной плоскости сферы.

Свойство касательной плоскости сферы

Свойство касательной плоскости, также известное как прямая теорема о касательной плоскости, формулируется следующим образом:

Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Рассмотрим это свойство подробнее. Пусть имеется сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть плоскость $\alpha$ касается сферы в точке $A$. Точка $A$ является единственной общей точкой сферы и плоскости $\alpha$. Свойство утверждает, что радиус $OA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, то есть $OA \perp \alpha$.

Доказательство этого свойства строится от противного. Если предположить, что радиус $OA$ не перпендикулярен плоскости $\alpha$, то перпендикуляром из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$ будет некоторый другой отрезок $OH$, где $H$ — точка на плоскости $\alpha$. В таком случае, в прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ отрезок $OA$ будет гипотенузой, а $OH$ — катетом. Следовательно, $OH < OA$. Так как $OA = R$ (радиус сферы), то расстояние от центра сферы до плоскости, равное $OH$, будет меньше радиуса ($OH < R$). А это означает, что сфера и плоскость должны пересекаться по окружности, что противоречит определению касательной плоскости (у них только одна общая точка). Следовательно, исходное предположение неверно, и радиус, проведенный в точку касания, действительно перпендикулярен касательной плоскости.

Ответ: Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Признак касательной плоскости сферы

Признак касательной плоскости, также известный как обратная теорема, формулируется так:

Если плоскость проходит через точку, лежащую на сфере, и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта плоскость является касательной к сфере.

Рассмотрим этот признак. Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ лежит на сфере, и через нее проведена плоскость $\alpha$ так, что она перпендикулярна радиусу $OA$ (то есть $OA \perp \alpha$).

Чтобы доказать, что плоскость $\alpha$ является касательной, нужно показать, что она имеет со сферой ровно одну общую точку — точку $A$. Расстояние от центра сферы $O$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту плоскость. По условию, отрезок $OA$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, следовательно, его длина и есть искомое расстояние. Длина отрезка $OA$ равна радиусу сферы $R$, так как точка $A$ лежит на сфере.

Таким образом, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Согласно теореме о взаимном расположении сферы и плоскости, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу, то плоскость и сфера имеют ровно одну общую точку. Следовательно, плоскость $\alpha$ является касательной к сфере в точке $A$.

Ответ: Если плоскость проходит через точку на сфере и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта плоскость является касательной к сфере.