Номер 237, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

237*. Вокруг конуса описана треугольная пирамида. Площади ее боковых граней относятся как 5 : 6 : 7. Определите, в каком отношении линии касания разделяют боковую поверхность пирамиды.

Пусть дана треугольная пирамида $SABC$, описанная вокруг конуса. Это означает, что вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды $S$, а основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (треугольник $ABC$).

Важным свойством такой конфигурации является то, что высоты боковых граней, проведенные из вершины $S$ (апофемы пирамиды), равны между собой. Обозначим эту общую апофему как $h_a$. Это следует из того, что каждая боковая грань касается конуса, и расстояние от вершины $S$ до линии касания на плоскости основания (стороны треугольника $ABC$) одинаково для всех граней и равно $\sqrt{H^2 + r^2}$, где $H$ - высота конуса (и пирамиды), а $r$ - радиус его основания.

Пусть площади боковых граней $SBC$, $SCA$ и $SAB$ равны $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, а длины сторон основания $BC$, $CA$, $AB$ равны $a$, $b$, $c$. Площадь каждой боковой грани вычисляется по формуле:

$A_1 = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

$A_2 = \frac{1}{2} b \cdot h_a$

$A_3 = \frac{1}{2} c \cdot h_a$

Из этих формул следует, что отношение площадей боковых граней равно отношению длин соответствующих сторон основания:

$A_1 : A_2 : A_3 = a : b : c$

По условию задачи, площади боковых граней относятся как $5 : 6 : 7$. Следовательно, стороны основания также относятся как $5 : 6 : 7$.

$a : b : c = 5 : 6 : 7$

Можно положить, что $a = 5k$, $b = 6k$, $c = 7k$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

Линии касания боковой поверхности пирамиды и конуса — это образующие конуса. Они соединяют вершину $S$ с точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника $ABC$. Обозначим эти точки касания на сторонах $BC$, $CA$, $AB$ как $P$, $Q$, $R$ соответственно. Таким образом, линии касания на боковой поверхности - это отрезки $SP$, $SQ$, $SR$.

Эти линии разделяют каждую боковую грань на два треугольника. Вся боковая поверхность оказывается разделенной на шесть треугольников: $SBP$ и $SCP$ (в грани $SBC$), $SCQ$ и $SAQ$ (в грани $SCA$), $SAR$ и $SBR$ (в грани $SAB$).

Вопрос "в каком отношении линии касания разделяют боковую поверхность" наиболее естественно трактовать как нахождение отношения площадей трех частей, на которые разбивается боковая поверхность, сгруппированных вокруг вершин основания $A$, $B$ и $C$.

Часть 1 (вокруг вершины $A$): $S_A = \text{Площадь}(SAQ) + \text{Площадь}(SAR)$

Часть 2 (вокруг вершины $B$): $S_B = \text{Площадь}(SBR) + \text{Площадь}(SBP)$

Часть 3 (вокруг вершины $C$): $S_C = \text{Площадь}(SCP) + \text{Площадь}(SCQ)$

Найдем длины отрезков, на которые точки касания делят стороны основания. Используем свойство касательных, проведенных из одной вершины к окружности: $AR = AQ$, $BR = BP$, $CR = CQ$. Обозначим эти длины как $x = AR = AQ$, $y = BR = BP$, $z = CQ = CP$.

Получаем систему уравнений:

$y + z = a = 5k$

$x + z = b = 6k$

$x + y = c = 7k$

Сложив все три уравнения, получим: $2(x+y+z) = 18k$, откуда $x+y+z = 9k$. Это полупериметр треугольника $ABC$.

Теперь легко найти $x, y, z$:

$x = (x+y+z) - (y+z) = 9k - 5k = 4k$

$y = (x+y+z) - (x+z) = 9k - 6k = 3k$

$z = (x+y+z) - (x+c) = 9k - 7k = 2k$

Итак, $AR = AQ = 4k$, $BR = BP = 3k$, $CQ = CP = 2k$.

Теперь вычислим площади $S_A, S_B, S_C$. Площадь треугольника, например $SAQ$, можно выразить через площадь содержащей его грани $SCA$:

$\text{Площадь}(SAQ) = \text{Площадь}(SCA) \cdot \frac{AQ}{AC} = A_2 \cdot \frac{x}{b}$

Аналогично:

$\text{Площадь}(SAR) = A_3 \cdot \frac{AR}{AB} = A_3 \cdot \frac{x}{c}$

$\text{Площадь}(SBR) = A_3 \cdot \frac{BR}{AB} = A_3 \cdot \frac{y}{c}$

$\text{Площадь}(SBP) = A_1 \cdot \frac{BP}{BC} = A_1 \cdot \frac{y}{a}$

$\text{Площадь}(SCP) = A_1 \cdot \frac{CP}{BC} = A_1 \cdot \frac{z}{a}$

$\text{Площадь}(SCQ) = A_2 \cdot \frac{CQ}{AC} = A_2 \cdot \frac{z}{b}$

Подставим это в выражения для $S_A, S_B, S_C$:

$S_A = A_2 \cdot \frac{x}{b} + A_3 \cdot \frac{x}{c} = x \left( \frac{A_2}{b} + \frac{A_3}{c} \right)$

$S_B = A_3 \cdot \frac{y}{c} + A_1 \cdot \frac{y}{a} = y \left( \frac{A_3}{c} + \frac{A_1}{a} \right)$

$S_C = A_1 \cdot \frac{z}{a} + A_2 \cdot \frac{z}{b} = z \left( \frac{A_1}{a} + \frac{A_2}{b} \right)$

Как мы установили ранее, $A_1 = \frac{1}{2}ah_a$, $A_2 = \frac{1}{2}bh_a$, $A_3 = \frac{1}{2}ch_a$. Отсюда следует, что:

$\frac{A_1}{a} = \frac{A_2}{b} = \frac{A_3}{c} = \frac{1}{2}h_a$

Подставим это в выражения для $S_A, S_B, S_C$:

$S_A = x \left( \frac{1}{2}h_a + \frac{1}{2}h_a \right) = x \cdot h_a$

$S_B = y \left( \frac{1}{2}h_a + \frac{1}{2}h_a \right) = y \cdot h_a$

$S_C = z \left( \frac{1}{2}h_a + \frac{1}{2}h_a \right) = z \cdot h_a$

Таким образом, искомое отношение площадей равно отношению длин отрезков касательных:

$S_A : S_B : S_C = x \cdot h_a : y \cdot h_a : z \cdot h_a = x : y : z$

Подставляя найденные значения $x=4k, y=3k, z=2k$, получаем:

$S_A : S_B : S_C = 4k : 3k : 2k = 4 : 3 : 2$

Ответ: Линии касания разделяют боковую поверхность пирамиды в отношении $4 : 3 : 2$.