Номер 231, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

231. Основанием пирамиды является ромб со стороной $a$ и острым углом $\phi$. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объем конуса.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, где $r$ - это радиус основания конуса, а $H$ - его высота. Чтобы решить задачу, нам необходимо найти $r$ и $H$ через заданные параметры.

Нахождение радиуса основания конуса ($r$)

По условию, конус вписан в пирамиду, основанием которой является ромб. Это означает, что основание конуса (окружность) вписано в основание пирамиды (ромб). Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты этого ромба ($h_{ромба}$).

Высоту ромба можно выразить через его сторону $a$ и острый угол $\varphi$:

$h_{ромба} = a \sin \varphi$

Следовательно, радиус основания конуса $r$ равен:

$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{a \sin \varphi}{2}$

Нахождение высоты конуса ($H$)

Образующая конуса $l$ составляет с плоскостью основания угол $\beta$. В конусе этот угол образуется между образующей $l$ и радиусом основания $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота конуса $H$ и радиус основания $r$, а гипотенузой — образующая $l$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan \beta = \frac{H}{r}$

Выразим отсюда высоту $H$:

$H = r \tan \beta$

Теперь подставим ранее найденное выражение для радиуса $r$:

$H = \frac{a \sin \varphi}{2} \tan \beta$

Вычисление объема конуса

Подставим полученные выражения для $r$ и $H$ в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a \sin \varphi}{2}\right)^2 \left(\frac{a \sin \varphi}{2} \tan \beta\right)$

Упростим это выражение:

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a^2 \sin^2 \varphi}{4}\right) \left(\frac{a \sin \varphi \tan \beta}{2}\right) = \frac{\pi a^3 \sin^3 \varphi \tan \beta}{3 \cdot 4 \cdot 2}$

$V = \frac{\pi a^3 \sin^3 \varphi \tan \beta}{24}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \sin^3 \varphi \tan \beta}{24}$