Номер 230, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

230. В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а острый угол между его диагоналями — $\alpha$. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объем конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, где $R$ – радиус основания конуса, а $H$ – его высота.

Так как в конус вписана пирамида, ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основание пирамиды (прямоугольник) вписано в основание конуса (окружность). Это означает, что высота пирамиды равна высоте конуса, а радиус основания конуса равен радиусу окружности, описанной около прямоугольника.

1. Найдем радиус основания конуса R.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали $d$. Таким образом, $R = \frac{d}{2}$.

Пусть диагонали прямоугольника пересекаются в точке $O$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника $a$ и двумя отрезками диагоналей, равными $R$. Угол при вершине $O$ этого треугольника — это острый угол между диагоналями, равный $\alpha$.

Чтобы найти $R$, воспользуемся теоремой синусов для этого треугольника. Углы при основании треугольника равны $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

По теореме синусов:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}$

Поскольку $\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Выразим отсюда $R$:

$R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin \alpha}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$:

$R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}$

2. Найдем высоту конуса H.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды. Обозначим вершину конуса (и пирамиды) буквой $S$, а центр основания — $O$. Тогда $H = SO$.

По условию, боковая грань, содержащая меньшую сторону основания $a$, составляет с плоскостью основания угол $\beta$. Это двугранный угол. Чтобы найти его линейный угол, проведем из центра основания $O$ перпендикуляр $OK$ к стороне $a$. Тогда $SK$ (апофема боковой грани) будет перпендикулярна стороне $a$ по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла, и $\angle SKO = \beta$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ ($\angle SOK = 90^\circ$). Из определения тангенса угла $\beta$ имеем:

$\tan \beta = \frac{SO}{OK} \Rightarrow H = SO = OK \cdot \tan \beta$

Отрезок $OK$ — это расстояние от центра прямоугольника до его меньшей стороны $a$. Это расстояние равно половине большей стороны прямоугольника. Обозначим большую сторону буквой $b$. Тогда $OK = \frac{b}{2}$.

Найдем $b$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный стороной $b$ и двумя радиусами $R$. Угол между радиусами в этом треугольнике равен $180^\circ - \alpha$. Углы при основании равны $\frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \frac{\alpha}{2}$. По теореме синусов:

$\frac{b}{\sin(180^\circ - \alpha)} = \frac{R}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

$b = \frac{R \sin(180^\circ - \alpha)}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{R \sin \alpha}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{R \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = 2R \cos(\frac{\alpha}{2})$

Подставим ранее найденное выражение для $R$:

$b = 2 \cdot \frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = a \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = a \cot(\frac{\alpha}{2})$

Теперь найдем $OK$ и высоту $H$:

$OK = \frac{b}{2} = \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2})}{2}$

$H = OK \cdot \tan \beta = \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta}{2}$

3. Вычислим объем конуса.

Подставим найденные выражения для $R$ и $H$ в формулу объема конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2 \sin(\frac{\alpha}{2})}\right)^2 \left(\frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta}{2}\right)$

$V = \frac{1}{3}\pi \frac{a^2}{4 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{a \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta}{2}$

$V = \frac{\pi a^3 \cot(\frac{\alpha}{2}) \tan \beta}{24 \sin^2(\frac{\alpha}{2})}$

Заменим $\cot(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$ для окончательного вида:

$V = \frac{\pi a^3 \tan \beta}{24 \sin^2(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a^3 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{24 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $V = \frac{\pi a^3 \tan \beta \cos(\frac{\alpha}{2})}{24 \sin^3(\frac{\alpha}{2})}$