Номер 223, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

223. Есть конус, радиус основания которого равен $r$, а высота — $H$. Определите, на каком расстоянии от плоскости основания нужно провести плоскость, параллельную ей, чтобы этой плоскостью конус разделился на части, объемы которых относятся как:

а) 1 : 1;

б) 3 : 5;

в) 5 : 3;

г) 7 : 1.

Пусть $V$ — объем исходного конуса, $H$ — его высота, а $r$ — радиус основания. Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$.

Проведем плоскость, параллельную основанию, на расстоянии $h$ от этого основания. Эта плоскость отсекает от исходного конуса меньший конус (сверху) и оставляет усеченный конус (снизу).

Пусть $H_1$ — высота малого (отсеченного) конуса, а $V_1$ — его объем. Высота малого конуса связана с искомым расстоянием $h$ соотношением $H_1 = H - h$. Малый конус подобен исходному конусу. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия их линейных размеров (например, высот):$$ \frac{V_1}{V} = \left(\frac{H_1}{H}\right)^3 $$

Пусть объемы частей, на которые плоскость делит конус, относятся как $m:n$. Будем считать, что это отношение объема верхнего малого конуса ($V_1$) к объему нижнего усеченного конуса ($V_2$), то есть $V_1 : V_2 = m : n$. Полный объем исходного конуса $V = V_1 + V_2$. Из отношения $V_1 : V_2 = m : n$ следует, что $V_1$ составляет $m$ частей, а $V_2$ — $n$ частей от некоторой величины. Тогда весь объем $V$ составляет $m+n$ таких частей. Следовательно, отношение объема малого конуса к объему всего конуса равно:$$ \frac{V_1}{V} = \frac{m}{m+n} $$

Приравнивая два полученных выражения для $\frac{V_1}{V}$, получаем:$$ \left(\frac{H_1}{H}\right)^3 = \frac{m}{m+n} $$Отсюда находим высоту малого конуса $H_1$:$$ \frac{H_1}{H} = \sqrt[3]{\frac{m}{m+n}} \implies H_1 = H \sqrt[3]{\frac{m}{m+n}} $$

Искомое расстояние $h$ от плоскости основания до секущей плоскости равно:$$ h = H - H_1 = H - H \sqrt[3]{\frac{m}{m+n}} = H \left(1 - \sqrt[3]{\frac{m}{m+n}}\right) $$

Применим эту общую формулу для каждого из случаев.

а) 1 : 1
В этом случае $m=1$ и $n=1$. Отношение $\frac{m}{m+n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. Подставляем это значение в общую формулу для $h$:$$ h = H \left(1 - \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) = H \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) $$Избавившись от иррациональности в знаменателе, получаем:$$ h = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right) $$Ответ: $H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\right)$.

б) 3 : 5
Здесь $m=3$ и $n=5$. Отношение $\frac{m}{m+n} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8}$. Подставляем в формулу для $h$:$$ h = H \left(1 - \sqrt[3]{\frac{3}{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{3}}{2}\right) $$Ответ: $H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{3}}{2}\right)$.

в) 5 : 3
Здесь $m=5$ и $n=3$. Отношение $\frac{m}{m+n} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$. Подставляем в формулу для $h$:$$ h = H \left(1 - \sqrt[3]{\frac{5}{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{5}}{2}\right) $$Ответ: $H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{5}}{2}\right)$.

г) 7 : 1
Здесь $m=7$ и $n=1$. Отношение $\frac{m}{m+n} = \frac{7}{7+1} = \frac{7}{8}$. Подставляем в формулу для $h$:$$ h = H \left(1 - \sqrt[3]{\frac{7}{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{8}}\right) = H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{7}}{2}\right) $$Ответ: $H \left(1 - \frac{\sqrt[3]{7}}{2}\right)$.