Номер 219, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

219. Докажите, что если треугольник вращается вокруг стороны, то объем полученного тела равен $\frac{1}{3}\pi R^2h$, где $h$ — сторона, вокруг которой осуществляется вращение, а $R$ — высота треугольника, опущенная на эту сторону.

Рассмотрим произвольный треугольник. Обозначим его вершины как A, B, C. Пусть вращение происходит вокруг стороны AC. Длину этой стороны, согласно условию, обозначим как $h$. Проведем из вершины B высоту BH на сторону AC (или ее продолжение). Длину этой высоты, согласно условию, обозначим как $R$.

При вращении треугольника ABC вокруг стороны AC, вершина B описывает окружность. Центр этой окружности лежит на прямой AC в точке H (основание высоты), а ее радиус равен длине высоты BH, то есть $R$.

Тело, полученное в результате вращения, состоит из одного или двух конусов. Рассмотрим возможные случаи расположения основания высоты H.

1. Основание высоты H лежит на отрезке AC.
Это происходит, если углы A и C являются острыми. В этом случае тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием.

• Первый конус образуется вращением прямоугольного треугольника ABH вокруг катета AH. Его объем равен $V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot (BH)^2 \cdot AH = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AH$.
• Второй конус образуется вращением прямоугольного треугольника CBH вокруг катета CH. Его объем равен $V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot (BH)^2 \cdot CH = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot CH$.

Общий объем тела вращения равен сумме объемов этих конусов: $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AH + \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot CH$ Вынесем общий множитель за скобки: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 (AH + CH)$ Так как точка H лежит на отрезке AC, то $AH + CH = AC = h$. Следовательно, объем равен $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. (Если один из углов, A или C, прямой, то точка H совпадает с одной из вершин, и тело вращения представляет собой один конус, для которого формула также верна).

2. Основание высоты H лежит на продолжении отрезка AC.
Это происходит, если один из углов при основании, A или C, является тупым. Пусть, для определенности, тупым является угол C. Тогда точка H лежит на продолжении стороны AC за точку C. В этом случае тело вращения получается как разность объемов двух конусов:

• Больший конус образуется вращением прямоугольного треугольника ABH вокруг катета AH. Его объем $V_{больший} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AH$.
• Меньший конус (который "вырезается" из большего) образуется вращением прямоугольного треугольника CBH вокруг катета CH. Его объем $V_{меньший} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot CH$.

Объем искомого тела равен разности объемов этих конусов: $V = V_{больший} - V_{меньший} = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot AH - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot CH$ Вынесем общий множитель за скобки: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 (AH - CH)$ Так как точка C лежит между A и H, то $AH - CH = AC = h$. Следовательно, и в этом случае объем равен $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$.

Таким образом, во всех случаях объем тела, полученного вращением треугольника вокруг одной из его сторон, вычисляется по одной и той же формуле.

Ответ: Мы доказали, что объем тела, полученного вращением треугольника вокруг стороны $h$, равен $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$, где $R$ — высота треугольника, опущенная на эту сторону.