Номер 222, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

222. Высота конуса разделена на три доли, и через точки деления проведены плоскости, параллельные плоскости основания конуса. Определите, в каком отношении этими плоскостями делится объем конуса.

Пусть высота исходного конуса равна $H$, радиус его основания $R$, а объем $V$. Объем конуса определяется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Высота конуса разделена на три равные части. Плоскости, проведенные через точки деления параллельно основанию, отсекают от исходного конуса два меньших конуса, подобных исходному. Эти плоскости делят исходный конус на три части: маленький конус сверху, усеченный конус (фрустум) посередине и еще один усеченный конус внизу. Найдем отношение их объемов.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия их линейных размеров. В данном случае, коэффициенты подобия можно найти как отношение высот.

Верхний, самый маленький конус имеет высоту $h_1 = \frac{1}{3}H$. Коэффициент его подобия исходному конусу равен $k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{1}{3}$. Объем этого конуса, который является объемом первой (верхней) части ($V_1$), составляет: $V_1 = k_1^3 \cdot V = (\frac{1}{3})^3 V = \frac{1}{27}V$.

Конус, образованный верхней и средней частями вместе, имеет высоту $h_2 = \frac{2}{3}H$. Коэффициент его подобия исходному конусу равен $k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{2}{3}$. Объем этого конуса ($V_{1+2}$) составляет: $V_{1+2} = k_2^3 \cdot V = (\frac{2}{3})^3 V = \frac{8}{27}V$.

Объем второй (средней) части ($V_2$) можно найти как разность объемов $V_{1+2}$ и $V_1$: $V_2 = V_{1+2} - V_1 = \frac{8}{27}V - \frac{1}{27}V = \frac{7}{27}V$.

Объем третьей (нижней) части ($V_3$) можно найти как разность общего объема $V$ и объема конуса, лежащего над ней ($V_{1+2}$): $V_3 = V - V_{1+2} = V - \frac{8}{27}V = \frac{19}{27}V$.

Теперь найдем отношение объемов трех частей, считая от вершины: $V_1 : V_2 : V_3 = \frac{1}{27}V : \frac{7}{27}V : \frac{19}{27}V$.

Сократив общий множитель $\frac{V}{27}$, получим искомое отношение: $1:7:19$.

Ответ: $1:7:19$.