Номер 217, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

217. Две стороны треугольника равны $b$ и $c$, а тупой угол между ними — $\alpha$.
Найдите объем тела, образованного вращением треугольника около стороны $b$.

Пусть дан треугольник, в котором две стороны равны $b$ и $c$, а тупой угол между ними равен $\alpha$. Требуется найти объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг стороны $b$.

Обозначим вершины треугольника как A, B, и C. Пусть сторона AB имеет длину $b$ и является осью вращения. Сторона AC имеет длину $c$, а угол между ними $\angle BAC = \alpha$. Поскольку угол $\alpha$ является тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то при опускании высоты CH из вершины C на прямую, содержащую сторону AB, основание высоты H окажется на продолжении отрезка AB за вершину A.

Тело вращения, полученное при вращении треугольника ABC вокруг прямой AB, представляет собой разность объемов двух конусов: большего конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника CBH, и меньшего конуса, образованного вращением прямоугольного треугольника CAH.

Объем конуса вычисляется по формуле $V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi R^2 H'$, где $R$ — радиус основания, а $H'$ — высота конуса.

Нахождение радиуса и высот конусов
Радиусом основания $R$ для обоих конусов является длина высоты CH. В прямоугольном треугольнике ACH угол $\angle CAH$ смежен с тупым углом $\alpha$, следовательно, $\angle CAH = 180^\circ - \alpha$. Радиус $R$ равен: $R = CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = c \cdot \sin(180^\circ - \alpha) = c\sin\alpha$.
Высота меньшего конуса $H_2$ равна длине катета AH: $H_2 = AH = AC \cdot \cos(\angle CAH) = c \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = c \cdot (-\cos\alpha) = -c\cos\alpha$.
Высота большего конуса $H_1$ равна длине отрезка BH: $H_1 = BH = AB + AH = b + (-c\cos\alpha) = b - c\cos\alpha$.

Расчет итогового объема
Искомый объем $V$ равен разности объемов двух конусов: $V = V_{CBH} - V_{CAH} = \frac{1}{3}\pi R^2 H_1 - \frac{1}{3}\pi R^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (H_1 - H_2)$.
Найдем разность высот: $H_1 - H_2 = (b - c\cos\alpha) - (-c\cos\alpha) = b - c\cos\alpha + c\cos\alpha = b$.
Подставим найденные значения в формулу объема: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot b = \frac{1}{3}\pi (c\sin\alpha)^2 \cdot b = \frac{1}{3}\pi b c^2 \sin^2\alpha$.

Ответ: $V = \frac{1}{3}\pi b c^2 \sin^2\alpha$