Номер 224, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

224. Плоскость, параллельная основанию конуса с радиусом 6 м, пересекает его по кругу с радиусом 3 м. Найдите объемы полученных частей конуса, учитывая, что плоскость разделяет образующую конуса на части, из которых та, что ограничена этой плоскостью и основанием конуса, равна 5 м.

Пусть исходный конус имеет радиус основания $R$, высоту $H$ и образующую $L$. Плоскость, параллельная основанию, отсекает от него меньший конус с радиусом основания $r$, высотой $h$ и образующей $l$. Оставшаяся часть представляет собой усеченный конус.

По условию задачи нам даны:

• Радиус основания большого конуса: $R = 6$ м.
• Радиус сечения (основания малого конуса): $r = 3$ м.
• Часть образующей, которая является образующей усеченного конуса: $L - l = 5$ м.

Малый конус, отсеченный плоскостью, подобен исходному большому конусу. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение радиусов их оснований:

$k = \frac{r}{R} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Отношение всех линейных размеров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Следовательно, отношение их образующих также равно $k$.

1. Нахождение образующих конусов

Используем соотношение образующих и коэффициент подобия:

$\frac{l}{L} = k = \frac{1}{2} \implies L = 2l$

Нам также известно, что $L - l = 5$. Подставим выражение для $L$ в это уравнение:

$2l - l = 5$

$l = 5$ м

Теперь найдем образующую большого конуса:

$L = 2l = 2 \cdot 5 = 10$ м

Итак, образующая малого конуса $l=5$ м, а образующая большого конуса $L=10$ м.

2. Нахождение высот конусов

Высота, радиус и образующая конуса связаны через теорему Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$. Найдем высоты обоих конусов.

Для большого конуса:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ м

Для малого конуса:

$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ м

Можно проверить, что отношение высот также равно коэффициенту подобия: $\frac{h}{H} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

3. Нахождение объемов частей конуса

Теперь мы можем найти объемы полученных частей: малого конуса (верхняя часть) и усеченного конуса (нижняя часть). Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Объем малого конуса ($V_{малый}$):

$V_{малый} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ м³

Объем усеченного конуса ($V_{усеч}$) можно найти как разность объемов большого и малого конусов. Сначала найдем объем большого конуса ($V_{большой}$):

$V_{большой} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 \pi = 96\pi$ м³

Теперь найдем объем усеченного конуса:

$V_{усеч} = V_{большой} - V_{малый} = 96\pi - 12\pi = 84\pi$ м³

Ответ: Объем верхней части (малого конуса) равен $12\pi$ м³, объем нижней части (усеченного конуса) равен $84\pi$ м³.