Номер 226, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

226*. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$ вращается вокруг прямой, параллельной гипотенузе, отстоящей от нее на высоту, проведенную к гипотенузе, и не имеющей с треугольником общих точек (рис. 130). Найдите объем полученного тела.

Рис. 130

Для нахождения объема тела, полученного при вращении треугольника, воспользуемся второй теоремой Гюльдена-Паппа. Согласно этой теореме, объем тела вращения равен произведению площади вращающейся фигуры $S$ на длину окружности $L$, которую описывает центр масс (центроид) этой фигуры. Формула имеет вид:

$V = S \cdot L = S \cdot 2\pi R$,

где $R$ — расстояние от центра масс фигуры до оси вращения.

1. Найдем площадь прямоугольного треугольника $S$.

Пусть дан прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Катеты этого треугольника будут равны:

$a = c \cdot \cos{\alpha}$

$b = c \cdot \sin{\alpha}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} (c \cos{\alpha})(c \sin{\alpha}) = \frac{1}{2} c^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}$

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $ \sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha} $, преобразуем выражение для площади:

$S = \frac{1}{2} c^2 \left( \frac{\sin{2\alpha}}{2} \right) = \frac{1}{4} c^2 \sin{2\alpha}$

2. Найдем расстояние $R$ от центра масс треугольника до оси вращения.

Сначала определим высоту $h_c$, проведенную к гипотенузе. Площадь треугольника также можно выразить через гипотенузу и высоту к ней:

$S = \frac{1}{2} c h_c$

Приравняем два полученных выражения для площади:

$\frac{1}{2} c h_c = \frac{1}{4} c^2 \sin{2\alpha}$

Отсюда найдем высоту:

$h_c = \frac{\frac{1}{4} c^2 \sin{2\alpha}}{\frac{1}{2} c} = \frac{1}{2} c \sin{2\alpha}$

По условию задачи, треугольник вращается вокруг прямой, параллельной гипотенузе и отстоящей от нее на расстояние, равное высоте $h_c$. Причем ось вращения не имеет с треугольником общих точек, значит, она находится с другой стороны от гипотенузы, нежели вершина прямого угла.

Центр масс (центроид) треугольника делит любую его медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от центра масс до любой стороны треугольника равно одной трети высоты, проведенной к этой стороне. Таким образом, расстояние от центра масс до гипотенузы равно $\frac{1}{3}h_c$.

Расстояние $R$ от центра масс до оси вращения равно сумме расстояния от гипотенузы до оси вращения ($h_c$) и расстояния от центра масс до гипотенузы ($\frac{1}{3}h_c$):

$R = h_c + \frac{1}{3}h_c = \frac{4}{3}h_c$

Подставим выражение для $h_c$:

$R = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{2} c \sin{2\alpha} \right) = \frac{2}{3} c \sin{2\alpha}$

3. Вычислим объем тела вращения $V$.

Теперь подставим найденные значения $S$ и $R$ в формулу Гюльдена-Паппа:

$V = 2\pi R S = 2\pi \left( \frac{2}{3} c \sin{2\alpha} \right) \left( \frac{1}{4} c^2 \sin{2\alpha} \right)$

$V = \frac{2\pi \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 4} c \cdot c^2 \cdot \sin{2\alpha} \cdot \sin{2\alpha}$

$V = \frac{4\pi}{12} c^3 \sin^2{2\alpha}$

$V = \frac{\pi c^3}{3} \sin^2{2\alpha}$

Ответ: $\frac{\pi c^3}{3} \sin^2{2\alpha}$