Номер 225, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

225. Плоскость, параллельная основанию конуса с радиусом 6 м, пересекает его по кругу с радиусом 4 м. Образованный усеченный конус равновелик цилиндру такой же высоты. Найдите радиус основания этого цилиндра.

Пусть $R$ — радиус большего основания усеченного конуса (основания исходного конуса), $r$ — радиус меньшего основания усеченного конуса (радиус сечения), $H_{ук}$ — высота усеченного конуса, $R_{ц}$ — искомый радиус основания цилиндра, а $H_{ц}$ — его высота.

Согласно условию задачи, нам даны радиусы:$R = 6$ м$r = 4$ м

Также по условию, усеченный конус равновелик цилиндру такой же высоты. Термин "равновелик" означает, что их объемы равны. Таким образом, мы имеем два условия:1. Объемы равны: $V_{ук} = V_{ц}$2. Высоты равны: $H_{ук} = H_{ц}$

Формула для вычисления объема усеченного конуса:$V_{ук} = \frac{1}{3} \pi H_{ук} (R^2 + Rr + r^2)$

Формула для вычисления объема цилиндра:$V_{ц} = \pi R_{ц}^2 H_{ц}$

Приравняем объемы, используя равенство высот ($H_{ук} = H_{ц}$):$\frac{1}{3} \pi H_{ук} (R^2 + Rr + r^2) = \pi R_{ц}^2 H_{ук}$

В этом уравнении можно сократить общие множители $\pi$ и $H_{ук}$ (поскольку высота не может быть равна нулю):$\frac{1}{3} (R^2 + Rr + r^2) = R_{ц}^2$

Теперь подставим числовые значения радиусов $R=6$ и $r=4$ в полученное выражение для нахождения квадрата радиуса цилиндра:$R_{ц}^2 = \frac{1}{3} (6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2)$$R_{ц}^2 = \frac{1}{3} (36 + 24 + 16)$$R_{ц}^2 = \frac{1}{3} (76)$$R_{ц}^2 = \frac{76}{3}$

Чтобы найти радиус основания цилиндра $R_{ц}$, извлечем квадратный корень:$R_{ц} = \sqrt{\frac{76}{3}}$

Можно также упростить это выражение, вынеся множитель из-под корня и избавившись от иррациональности в знаменателе:$R_{ц} = \sqrt{\frac{4 \cdot 19}{3}} = 2\sqrt{\frac{19}{3}} = \frac{2\sqrt{19}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{19}\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{57}}{3}$

Ответ: $\sqrt{\frac{76}{3}}$ м (или $\frac{2\sqrt{57}}{3}$ м).