Номер 227, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

227. В конусе просверлили цилиндрическое отверстие, ось которого совпадает с осью конуса. Найдите объем образовавшегося тела, учитывая, что высота конуса равна 30 см, диаметр его основания — 20 см, а диаметр цилиндрического отверстия — 10 см.

Для нахождения объема образовавшегося тела необходимо из объема исходного конуса вычесть объем части, которую удалили при сверлении. Эта удаленная часть представляет собой комбинацию двух тел: цилиндра и малого конуса, который находится на верхнем основании цилиндра и является вершиной исходного конуса.

Шаг 1: Вычисление объема исходного конуса.

Исходные данные для конуса: высота $H = 30$ см, диаметр основания $D = 20$ см. Отсюда находим радиус основания $R = \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Подставляя известные значения, получаем:

$V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi \cdot 10^2 \cdot 30 = \frac{1}{3}\pi \cdot 100 \cdot 30 = 1000\pi \text{ см}^3$.

Шаг 2: Определение параметров и объема удаленной части.

Диаметр цилиндрического отверстия $d = 10$ см, следовательно, его радиус $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Этот же радиус является радиусом основания малого конуса, который был удален.

Высоту этого малого конуса ($h_{м.к.}$) можно найти из подобия треугольников в осевом сечении большого и малого конусов. Отношение их высот равно отношению радиусов их оснований:

$\frac{h_{м.к.}}{H} = \frac{r}{R}$

$\frac{h_{м.к.}}{30} = \frac{5}{10}$

$h_{м.к.} = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ см.

Теперь найдем объем удаленного малого конуса:

$V_{м.к.} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{м.к.} = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 15 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 15 = 125\pi \text{ см}^3$.

Высота цилиндрической части отверстия ($h_{цил.}$) равна разности высоты всего конуса и высоты малого конуса:

$h_{цил.} = H - h_{м.к.} = 30 - 15 = 15$ см.

Объем удаленного цилиндра равен:

$V_{цил.} = \pi r^2 h_{цил.} = \pi \cdot 5^2 \cdot 15 = \pi \cdot 25 \cdot 15 = 375\pi \text{ см}^3$.

Суммарный объем удаленной части равен сумме объемов малого конуса и цилиндра:

$V_{удал.} = V_{м.к.} + V_{цил.} = 125\pi + 375\pi = 500\pi \text{ см}^3$.

Шаг 3: Вычисление объема итогового тела.

Объем оставшегося тела равен разности объема исходного конуса и объема удаленной части:

$V_{итоговый} = V_{конуса} - V_{удал.} = 1000\pi - 500\pi = 500\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $500\pi$ см³.