Номер 234, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

234*. Есть конус с образующей $l$, наклоненной к плоскости основания конуса под углом в $60^\circ$. В него вписана правильная треугольная призма, боковое ребро которой в два раза больше стороны основания (рис. 132). Найдите это ребро.

Рис. 132

Обозначим искомое боковое ребро призмы как $h$. По условию, сторона основания призмы, которую мы обозначим как $x$, в два раза меньше бокового ребра. Таким образом, $x = h/2$.

Задача состоит в том, чтобы найти $h$.

Пусть $l$ — образующая конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус основания. Угол наклона образующей к плоскости основания составляет $60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей конуса. В этом треугольнике:

• Гипотенуза равна образующей $l$.
• Катет, противолежащий углу $60^\circ$, равен высоте $H$.
• Катет, прилежащий к углу $60^\circ$, равен радиусу $R$.

Используя тригонометрические соотношения, находим:

$H = l \cdot \sin(60^\circ) = l \frac{\sqrt{3}}{2}$

$R = l \cdot \cos(60^\circ) = l \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$

В конус вписана правильная треугольная призма. Это означает, что ее нижнее основание лежит в плоскости основания конуса, а вершины верхнего основания касаются боковой поверхности конуса. Призма является правильной, поэтому ее ось совпадает с осью конуса.

Основание призмы — правильный (равносторонний) треугольник со стороной $x$. Расстояние от центра этого треугольника до любой его вершины (то есть радиус описанной окружности) равно $r_p$.

$r_p = \frac{x}{\sqrt{3}}$

Так как $x = h/2$, то $r_p = \frac{h/2}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2\sqrt{3}}$.

Вершины верхнего основания призмы находятся на высоте $h$ от основания конуса и на расстоянии $r_p$ от его оси.

Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через одну из вершин верхнего основания призмы. В сечении мы видим большой прямоугольный треугольник с катетами $H$ и $R$. Верхнее основание призмы на высоте $h$ отсекает от него подобный малый треугольник с катетами $H-h$ и $r_p$.

Из подобия этих треугольников следует пропорция:

$\frac{H-h}{H} = \frac{r_p}{R}$

Преобразуем это уравнение:

$1 - \frac{h}{H} = \frac{r_p}{R} \implies \frac{h}{H} + \frac{r_p}{R} = 1$

Подставим в полученное уравнение выражения для $H$, $R$ и $r_p$:

$\frac{h}{l\sqrt{3}/2} + \frac{h/(2\sqrt{3})}{l/2} = 1$

Упростим дроби:

$\frac{2h}{l\sqrt{3}} + \frac{2h}{2l\sqrt{3}} = 1$

$\frac{2h}{l\sqrt{3}} + \frac{h}{l\sqrt{3}} = 1$

Сложим слагаемые в левой части:

$\frac{3h}{l\sqrt{3}} = 1$

Так как $3 = (\sqrt{3})^2$, мы можем сократить дробь:

$\frac{\sqrt{3}h}{l} = 1$

Отсюда выражаем искомое боковое ребро $h$:

$h = \frac{l}{\sqrt{3}} = \frac{l\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{l\sqrt{3}}{3}$.