Номер 3, страница 82 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. По какой фигуре пересекаются сфера и плоскость; две сферы?

Сфера и плоскость

Фигура, которая образуется при пересечении сферы и плоскости, зависит от соотношения между радиусом сферы $R$ и расстоянием $d$ от центра сферы до плоскости. Существует три возможных случая:

• Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса ($d > R$), то у сферы и плоскости нет общих точек. Их пересечение — пустое множество.

• Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу ($d = R$), то плоскость касается сферы в одной точке. Эта точка и является их пересечением.

• Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса ($d < R$), то плоскость пересекает сферу. В этом случае фигурой пересечения (сечением) является окружность. Центр этой окружности — это основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость. Радиус $r$ этой окружности можно вычислить по теореме Пифагора: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$. Частным случаем является пересечение сферы плоскостью, проходящей через её центр ($d=0$). В этом случае в сечении образуется так называемая большая окружность, радиус которой равен радиусу сферы ($r=R$).

Ответ: пересечением сферы и плоскости, в зависимости от их взаимного расположения, может быть окружность, точка или пустое множество. В общем случае под пересечением понимают окружность.

Две сферы

Фигура, которая образуется при пересечении двух сфер, зависит от соотношения между их радиусами $R_1$, $R_2$ и расстоянием $d$ между их центрами.

• Если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R_1 + R_2$) или меньше модуля разности радиусов ($d < |R_1 - R_2|$), то сферы не имеют общих точек. В первом случае они расположены одна вне другой, во втором — одна сфера находится полностью внутри другой. Их пересечение — пустое множество.

• Если расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$) или модулю их разности ($d = |R_1 - R_2|$), то сферы касаются в одной точке. Эта точка и является их пересечением. В первом случае говорят о внешнем касании, во втором — о внутреннем.

• Если расстояние между центрами удовлетворяет неравенству $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, то сферы пересекаются. Фигурой их пересечения является окружность. Плоскость, в которой лежит эта окружность, перпендикулярна линии, соединяющей центры двух сфер.

Ответ: пересечением двух сфер, в зависимости от их взаимного расположения, может быть окружность, точка или пустое множество. В общем случае под пересечением понимают окружность.