Номер 238, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

238. Докажите, что:

а) радиус $r$ сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию

$0 < r \leq R$, где $R$ — радиус сферы;

б) радиусы сечений сферы плоскостями, равноудаленными от центра сферы, равны друг другу;

в) из двух сечений больший радиус имеет то, плоскость которого расположена ближе к центру.

а) радиус $r$ сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию $0 < r \le R$, где $R$ — радиус сферы;

Пусть дана сфера с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть плоскость $\alpha$ пересекает сферу. Сечением является окружность. Обозначим центр этой окружности как $O'$, а ее радиус как $r$. Расстояние от центра сферы до плоскости сечения обозначим как $d$. Это длина перпендикуляра $OO'$, опущенного из центра сферы на плоскость сечения.

Рассмотрим произвольную точку $A$ на окружности сечения. Точка $A$ также лежит на сфере, поэтому расстояние от нее до центра сферы равно радиусу сферы $R$, то есть $OA = R$.

Мы получили прямоугольный треугольник $\triangle OO'A$, где:

• $OA$ — гипотенуза, равная радиусу сферы $R$.
• $OO'$ — катет, равный расстоянию $d$ от центра сферы до плоскости.
• $O'A$ — катет, равный радиусу сечения $r$.

По теореме Пифагора имеем: $R^2 = r^2 + d^2$.

Из этого соотношения выразим $r^2$: $r^2 = R^2 - d^2$.

1. Докажем, что $r \le R$.
Поскольку $d$ — это расстояние, то $d \ge 0$, а значит $d^2 \ge 0$. Следовательно, $r^2 = R^2 - d^2 \le R^2$. Так как радиусы $r$ и $R$ являются неотрицательными величинами, из $r^2 \le R^2$ следует, что $r \le R$. Равенство $r = R$ достигается только при $d = 0$, то есть когда секущая плоскость проходит через центр сферы (такое сечение называется большим кругом).

2. Докажем, что $r > 0$.
По условию, плоскость образует "сечение". Это означает, что она не является касательной к сфере (когда $d=R$, и сечение вырождается в точку, $r=0$) и не проходит мимо сферы (когда $d>R$, и сечения нет). Таким образом, для существования сечения в виде окружности необходимо, чтобы $d < R$. Если $d < R$, то $d^2 < R^2$, и $R^2 - d^2 > 0$. Следовательно, $r^2 > 0$, а значит $r > 0$.

Объединяя оба условия, получаем $0 < r \le R$.

Ответ: Неравенство $0 < r \le R$ доказано.

б) радиусы сечений сферы плоскостями, равноудаленными от центра сферы, равны друг другу;

Пусть даны два сечения сферы плоскостями $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Обозначим радиусы этих сечений как $r_1$ и $r_2$, а расстояния от центра сферы $O$ до этих плоскостей как $d_1$ и $d_2$ соответственно. Радиус сферы, как и прежде, равен $R$.

По условию, плоскости равноудалены от центра сферы, то есть $d_1 = d_2$.

Как и в пункте а), используем теорему Пифагора для каждого сечения:

• Для первого сечения: $R^2 = r_1^2 + d_1^2 \implies r_1^2 = R^2 - d_1^2$.
• Для второго сечения: $R^2 = r_2^2 + d_2^2 \implies r_2^2 = R^2 - d_2^2$.

Поскольку $d_1 = d_2$, то и $d_1^2 = d_2^2$. Тогда правые части выражений для $r_1^2$ и $r_2^2$ равны: $R^2 - d_1^2 = R^2 - d_2^2$.

Следовательно, $r_1^2 = r_2^2$. Так как радиусы не могут быть отрицательными, отсюда следует, что $r_1 = r_2$.

Ответ: Радиусы сечений, образованных равноудаленными от центра плоскостями, равны, что и требовалось доказать.

в) из двух сечений больший радиус имеет то, плоскость которого расположена ближе к центру.

Рассмотрим снова два сечения с радиусами $r_1$, $r_2$ и расстояниями от центра до их плоскостей $d_1$, $d_2$. Пусть плоскость первого сечения расположена ближе к центру, чем плоскость второго. Это означает, что $d_1 < d_2$. Нам нужно доказать, что $r_1 > r_2$.

Запишем уже известные нам соотношения из теоремы Пифагора:

• $r_1^2 = R^2 - d_1^2$
• $r_2^2 = R^2 - d_2^2$

Нам дано неравенство $d_1 < d_2$. Поскольку расстояния $d_1$ и $d_2$ неотрицательны, мы можем возвести обе части в квадрат: $d_1^2 < d_2^2$.

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $-d_1^2 > -d_2^2$.

Теперь прибавим к обеим частям неравенства одну и ту же величину $R^2$: $R^2 - d_1^2 > R^2 - d_2^2$.

Подставив выражения для квадратов радиусов, получаем: $r_1^2 > r_2^2$.

Поскольку радиусы $r_1$ и $r_2$ являются положительными числами (так как существуют сечения), мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, сохранив его знак: $r_1 > r_2$.

Это доказывает, что сечение, плоскость которого находится ближе к центру сферы, имеет больший радиус.

Ответ: Утверждение о том, что из двух сечений больший радиус имеет то, плоскость которого расположена ближе к центру, доказано.