Номер 242, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

242. Найдите длину окружности, являющейся:

а) сечением сферы с радиусом 82 см плоскостью, отстоящей от центра сферы на 18 см;

б) геометрическим местом точек сферы с диаметром 25 см, отстоящих от данной точки P этой сферы на 15 см.

а)

Сечение сферы плоскостью представляет собой окружность. Обозначим радиус сферы как $R$, расстояние от центра сферы до плоскости как $d$, и радиус окружности в сечении как $r$. Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где радиус сферы $R$ является гипотенузой, а $d$ и $r$ – катетами. По теореме Пифагора имеем: $R^2 = d^2 + r^2$.

Из этого соотношения выразим радиус сечения $r$:
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$.

По условию задачи, радиус сферы $R = 82 \text{ см}$, а расстояние от центра до плоскости $d = 18 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу:
$r = \sqrt{82^2 - 18^2}$.

Для упрощения вычислений воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$r = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)} = \sqrt{64 \cdot 100} = \sqrt{6400} = 80 \text{ см}$.

Теперь найдем длину окружности $C$ по формуле $C = 2\pi r$:
$C = 2\pi \cdot 80 = 160\pi \text{ см}$.

Ответ: $160\pi \text{ см}$.

б)

Геометрическое место точек на сфере, равноудаленных от данной точки $P$ на этой же сфере, представляет собой окружность. Расстояние, равное 15 см, является длиной хорды, соединяющей точку $P$ с любой точкой $A$ на искомой окружности. Обозначим это расстояние как $l = 15 \text{ см}$.

Радиус сферы $R$ равен половине диаметра: $R = 25 / 2 = 12.5 \text{ см}$. Пусть $O$ — центр сферы, а $r$ — радиус искомой окружности.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OPA$, где $O$ — центр сферы, $P$ — данная точка, $A$ — точка на искомой окружности. Стороны этого треугольника: $OP = OA = R = 12.5 \text{ см}$, $PA = l = 15 \text{ см}$. Радиус искомой окружности $r$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $OP$.

Площадь треугольника $\triangle OPA$ можно найти, используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр $s$:
$s = \frac{OP + OA + PA}{2} = \frac{12.5 + 12.5 + 15}{2} = \frac{40}{2} = 20 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника:
$S = \sqrt{s(s-OA)(s-OP)(s-PA)} = \sqrt{20(20-12.5)(20-12.5)(20-15)} = \sqrt{20 \cdot 7.5 \cdot 7.5 \cdot 5} = \sqrt{100 \cdot 56.25} = 10 \cdot 7.5 = 75 \text{ см}^2$.

С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание $OP$ и высоту $r$:
$S = \frac{1}{2} \cdot OP \cdot r = \frac{1}{2} \cdot R \cdot r$.

Приравняем два выражения для площади и найдем $r$:
$75 = \frac{1}{2} \cdot 12.5 \cdot r$
$150 = 12.5 \cdot r$
$r = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ см}$.

Теперь найдем длину искомой окружности $C$ по формуле $C = 2\pi r$:
$C = 2\pi \cdot 12 = 24\pi \text{ см}$.

Ответ: $24\pi \text{ см}$.