Номер 241, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

241. Определите взаимное расположение сферы с центром $O$ и радиусом $R$ и плоскости $ABC$, учитывая, что треугольник $ABC$ является основанием треугольной пирамиды $OABC$ с высотой $OH$ и:

а) $R = 3$ дм, $OH = 30$ см;

б) $R = 6$ м, $OH = 190$ см;

в) $R = 1$ дм, $OA = 9$ см;

г) $R = 0,7$ дм, $OH = 8$ см.

Для определения взаимного расположения сферы и плоскости необходимо сравнить радиус сферы $R$ и расстояние от центра сферы до плоскости, которое мы обозначим как $d$. В условии задачи сказано, что центр сферы находится в точке $O$, а $OH$ — высота пирамиды $OABC$, опущенная на основание $ABC$. Это означает, что $OH$ является перпендикуляром от центра сферы $O$ к плоскости $ABC$, и его длина равна расстоянию от центра сферы до плоскости: $d = OH$.

Существует три возможных варианта их взаимного расположения:

• Если $d < R$ (расстояние от центра до плоскости меньше радиуса), то сфера и плоскость пересекаются. Линией их пересечения является окружность.
• Если $d = R$ (расстояние от центра до плоскости равно радиусу), то сфера и плоскость касаются в одной точке (в точке $H$).
• Если $d > R$ (расстояние от центра до плоскости больше радиуса), то сфера и плоскость не имеют общих точек.

а)

Даны значения: $R = 3$ дм, $OH = 30$ см.
Для сравнения приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам. Зная, что 1 дм = 10 см, получаем:
$R = 3 \text{ дм} = 3 \times 10 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости равно $d = OH = 30$ см.
Сравниваем $R$ и $d$: $R = 30$ см и $d = 30$ см. Так как $d = R$, сфера и плоскость касаются.
Ответ: сфера и плоскость касаются.

б)

Даны значения: $R = 6$ м, $OH = 190$ см.
Приведем радиус к сантиметрам. Зная, что 1 м = 100 см, получаем:
$R = 6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 190$ см.
Сравниваем $R$ и $d$: $R = 600$ см и $d = 190$ см.
Так как $d < R$ (поскольку $190 < 600$), сфера и плоскость пересекаются.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

в)

Даны значения: $R = 1$ дм, $OA = 9$ см.
Приведем радиус к сантиметрам: $R = 1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
В этом пункте расстояние $d = OH$ не задано напрямую. Однако нам известно расстояние от центра сферы $O$ до точки $A$, которая принадлежит плоскости $ABC$. Это расстояние $OA = 9$ см.
Поскольку расстояние от центра сферы до точки $A$, лежащей в плоскости, ($OA = 9$ см) меньше радиуса сферы ($R = 10$ см), точка $A$ находится внутри сферы. Если плоскость содержит хотя бы одну точку, находящуюся внутри сферы, то эта плоскость обязательно пересекает сферу.
Также можно рассмотреть прямоугольный треугольник $\triangle OHA$ (где $\angle OHA = 90^\circ$). В нем $OH$ и $AH$ — катеты, а $OA$ — гипотенуза. Из теоремы Пифагора ($OH^2 + AH^2 = OA^2$) следует, что длина катета не может быть больше длины гипотенузы, то есть $OH \le OA$.
Так как $OA = 9$ см, то $d = OH \le 9$ см. Сравнивая с радиусом $R = 10$ см, получаем, что $d < R$.
Ответ: сфера и плоскость пересекаются.

г)

Даны значения: $R = 0,7$ дм, $OH = 8$ см.
Приведем радиус к сантиметрам: $R = 0,7 \text{ дм} = 0,7 \times 10 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Расстояние от центра сферы до плоскости $d = OH = 8$ см.
Сравниваем $R$ и $d$: $R = 7$ см и $d = 8$ см.
Так как $d > R$ (поскольку $8 > 7$), сфера и плоскость не имеют общих точек.
Ответ: сфера и плоскость не пересекаются.