Номер 240, страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

240. Найдите геометрическое место:

а) центров сфер, которым принадлежат вершины данного треугольника;

б) центров сфер данного радиуса, которые касаются граней данного двугранного угла.

а) Пусть данный треугольник – это $\triangle ABC$, а плоскость, в которой он лежит, – $\Pi$. Центр сферы $O$, которой принадлежат вершины $A$, $B$ и $C$, должен быть равноудален от этих вершин, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC$.

Множество точек пространства, равноудаленных от двух данных точек (например, $A$ и $B$), представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки, и проходящую через его середину. Следовательно, искомый центр $O$ должен лежать на пересечении трех таких плоскостей для отрезков $AB$, $BC$ и $AC$.

Рассмотрим ортогональную проекцию точки $O$ на плоскость треугольника $\Pi$. Обозначим эту проекцию как $O'$. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle OO'A$, $\triangle OO'B$ и $\triangle OO'C$ имеем:

$OA^2 = OO'^2 + O'A^2$

$OB^2 = OO'^2 + O'B^2$

$OC^2 = OO'^2 + O'C^2$

Поскольку $OA = OB = OC$, то $OO'^2 + O'A^2 = OO'^2 + O'B^2 = OO'^2 + O'C^2$, откуда следует, что $O'A = O'B = O'C$. Это означает, что точка $O'$ равноудалена от вершин треугольника в его плоскости, то есть $O'$ является центром окружности, описанной около $\triangle ABC$.

Так как $O'$ – это проекция точки $O$ на плоскость $\Pi$, то точка $O$ должна лежать на прямой, проходящей через $O'$ и перпендикулярной плоскости $\Pi$.

Обратно, любая точка на этой прямой равноудалена от вершин $A, B, C$. Если взять любую точку $O$ на этой прямой, то ее проекция на плоскость $\Pi$ – это центр описанной окружности $O'$. Так как $O'A = O'B = O'C$, а катет $OO'$ является общим для треугольников $\triangle OO'A$, $\triangle OO'B$, $\triangle OO'C$, то их гипотенузы равны: $OA = OB = OC$.

Следовательно, искомое геометрическое место точек – это прямая, перпендикулярная плоскости данного треугольника и проходящая через центр описанной около него окружности.

Ответ: Прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и проходящая через центр описанной около него окружности.

б) Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$, пересекающимися по прямой $l$ (ребро угла). Пусть величина этого угла равна $\phi$, а радиус сферы равен $R$.

Центр $O$ сферы, касающейся граней $\alpha$ и $\beta$, должен находиться на одинаковом расстоянии от этих граней, равном радиусу $R$. То есть $d(O, \alpha) = R$ и $d(O, \beta) = R$.

Из условия $d(O, \alpha) = d(O, \beta)$ следует, что центр $O$ должен лежать в одной из двух биссекторных плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образованные плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Одна биссекторная плоскость, $\gamma_1$, делит пополам угол $\phi$, а другая, $\gamma_2$, – смежный с ним угол $\pi - \phi$. Обе эти плоскости проходят через ребро $l$.

Случай 1: Центр $O$ лежит в биссекторной плоскости $\gamma_1$.

Эта плоскость образует с каждой из граней $\alpha$ и $\beta$ двугранный угол, равный $\phi/2$. Расстояние от точки $O \in \gamma_1$ до плоскости $\alpha$ связано с расстоянием от точки $O$ до ребра $l$, $d(O, l)$, следующим соотношением: $d(O, \alpha) = d(O, l) \cdot \sin(\phi/2)$.

По условию $d(O, \alpha) = R$, поэтому $R = d(O, l) \cdot \sin(\phi/2)$. Отсюда находим расстояние от центра сферы до ребра угла: $d(O, l) = \frac{R}{\sin(\phi/2)}$.

Так как $R$ и $\phi$ – заданные величины, это расстояние постоянно. Геометрическое место точек в плоскости $\gamma_1$, находящихся на постоянном расстоянии от прямой $l$ (также лежащей в $\gamma_1$), – это две прямые, параллельные $l$ и отстоящие от нее на расстояние $\frac{R}{\sin(\phi/2)}$.

Случай 2: Центр $O$ лежит в биссекторной плоскости $\gamma_2$.

Эта плоскость образует с каждой из граней $\alpha$ и $\beta$ двугранный угол, равный $(\pi-\phi)/2$. Расстояние от точки $O \in \gamma_2$ до плоскости $\alpha$ равно $d(O, \alpha) = d(O, l) \cdot \sin((\pi-\phi)/2) = d(O, l) \cdot \cos(\phi/2)$.

По условию $d(O, \alpha) = R$, поэтому $R = d(O, l) \cdot \cos(\phi/2)$. Отсюда $d(O, l) = \frac{R}{\cos(\phi/2)}$.

Это также постоянное расстояние. Геометрическое место точек в плоскости $\gamma_2$, удовлетворяющих этому условию, – это еще две прямые, параллельные $l$ и отстоящие от нее на расстояние $\frac{R}{\cos(\phi/2)}$.

Объединяя оба случая, получаем, что искомое геометрическое место центров – это четыре прямые, параллельные ребру двугранного угла.

Ответ: Четыре прямые, параллельные ребру двугранного угла. Две из них лежат в одной биссекторной плоскости на расстоянии $\frac{R}{\sin(\phi/2)}$ от ребра, а две другие — в другой биссекторной плоскости на расстоянии $\frac{R}{\cos(\phi/2)}$ от ребра, где $R$ — радиус сферы, а $\phi$ — величина двугранного угла.