Номер 247, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

247. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 18 см и 24 см лежат на сфере. Определите:

а) положение центра сферы, радиус которой равен 15 см;

б) расстояние от центра сферы с радиусом 65 см до плоскости треугольника.

Поскольку все вершины треугольника лежат на сфере, то плоскость треугольника пересекает сферу по окружности, которая является описанной около этого треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $r$, а радиус сферы как $R$. Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника обозначим как $d$. Эти величины связаны соотношением, вытекающим из теоремы Пифагора: $R^2 = r^2 + d^2$.

Сначала найдем радиус окружности, описанной около данного прямоугольного треугольника. Катеты треугольника равны $a = 18$ см и $b = 24$ см. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ см.

Как известно, центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а ее радиус $r$ равен половине гипотенузы:

$r = \frac{c}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь можем решить пункты задачи.

а) положение центра сферы, радиус которой равен 15 см;

По условию, радиус сферы $R = 15$ см. Ранее мы вычислили, что радиус описанной окружности треугольника $r = 15$ см. Подставим эти значения в формулу для нахождения расстояния $d$ от центра сферы до плоскости треугольника:

$R^2 = r^2 + d^2$

$15^2 = 15^2 + d^2$

$225 = 225 + d^2$

Отсюда следует, что $d^2 = 0$, и, следовательно, $d = 0$.

Нулевое расстояние означает, что центр сферы лежит в плоскости самого треугольника. Так как центр сферы должен быть равноудален от всех вершин треугольника, он должен совпадать с центром описанной окружности треугольника.

Ответ: центр сферы совпадает с центром описанной окружности треугольника, то есть находится на середине гипотенузы треугольника.

б) расстояние от центра сферы с радиусом 65 см до плоскости треугольника.

По условию, радиус сферы $R = 65$ см. Радиус описанной окружности треугольника, как мы нашли ранее, $r = 15$ см. Найдем искомое расстояние $d$:

$d^2 = R^2 - r^2$

$d^2 = 65^2 - 15^2 = 4225 - 225 = 4000$

$d = \sqrt{4000} = \sqrt{400 \cdot 10} = 20\sqrt{10}$ см.

Ответ: $20\sqrt{10}$ см.